Son los autovalores el límite de una secuencia de matrices límites de autovalor secuencias?

Question

Deje $\{A_n\}\in \mathbb{R}^{m\times m}$ ser una secuencia de matrices simétricas tal que $A_n\to A$$n\to \infty$, es decir, $\lim_{n\to \infty}a_{ij}(n)=a_{ij}\ \forall 1\le i,j\le m$ donde $A_n=[a_{ij}(n)],A=[a_{ij}]$. Deje $\rho(A_n)=\{\lambda_1(n),\cdots,\ \lambda_m(n)\}$ ser los autovalores de a $A_n$ y de manera similar, $\rho(A)=\{\lambda_1,\cdots,\ \lambda_m\}$ ser los autovalores de a $A$, dispuestos, por ejemplo, en orden creciente. Aquí están mis preguntas

1)se Puede escribir $\lambda_k(n)\to \lambda_k,\ 1\le k\le m$?

2)Si defino (con un ligero abuso de notación estándar) $\delta_s(n),\ 1\le s\le m$ como máximo autovalor de cualquier $s\times s$ submatriz de a $A_n$ e si $\delta_s$ ser la cantidad correspondiente para $A$, entonces puedo decir que $$\lim_{n\to \infty}\delta_s(n)=\delta_s$$ ?

Intuitivamente me parece que las respuestas son positivas, ya que los autovalores de una matriz son funciones continuas de los elementos de la matriz y $\delta_s$ es sólo el máximo de algunos valores propios de submatrices.

Sin embargo, no estoy seguro de si este argumento es lo suficientemente sólidas. Tal vez este es un tema trivial, para la gente de aquí, pero yo realmente apreciaría si alguien puede amabilidad de proporcionar alguna explicación respecto a la respuesta correcta. Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $\chi_n$ ser la característica polyomial de $A_n$ $\chi=a\prod(X-\lambda_i)$ ser $A$,$\chi_n\mathop{\to}_{n\rightarrow\infty}\chi$.

Si una secuencia de polinomios converge a otra, entonces, por la continuidad de las raíces de los polinomios en la secuencia debe converger a las raíces del límite polinomio (con la misma multiplicidad). Por lo tanto los valores propios de la secuencia de matrices de hecho, la convergencia con los valores propios de a $A$.

Asimismo, a partir de cualquier submatriz de a $A_k$ converge a la correspondiente submatriz de a $A$, que es suficiente para decir que $\delta_s(n)\to\delta_s$.

Answer 2

La respuesta de @Hippalectryon que es moralmente correcto. Sin embargo, hay este problema de acercarse a un polinomio con múltiples raíces, de alguna manera delicada. $\tiny{\text{Can be proved with the argument principle from complex analysis.}}$ Vamos a trabajar directamente con los valores propios, sin pasar por el polinomio característico.

El uso de este estándar observación: si dos matrices son simétricas ordenado $B\prec C$ , entonces sus vectores de autovalores ( orden creciente) también satisfacer $\lambda(B) \prec \lambda(C)$ ( que es $\lambda_i(B) \le \lambda_i(C)$ todos los $i$).

Ahora, si si $A_n \to A$, entonces para cualquier $\epsilon >0$ tenemos $A- \epsilon I \prec A_n \prec A + \epsilon I$$n \ge n_{\epsilon}$, y así $$\lambda_i(A) - \epsilon \le \lambda_i(A_n) \le \lambda_i(A) + \epsilon$$

$\tiny{\text{(the question for the max for submatrices is simple: $\lim$ and $\max$ commute ).}}$

$\bf{Added:}$ Estoy dando esta "continuidad de las raíces" pregunta más de pensamiento. Por supuesto, @Hippalectryon que es correcto. Pero, ¿cómo realmente nos convencemos de que las raíces de $P_n$ enfoque de las raíces de $P$? En primer lugar, un enfoque práctico: las raíces de La $P_n$ se encuentran en una región acotada ya que los coeficientes de $P_n$ son todos limitada. Si las raíces de $P_n$ no se acercan a las de $P$ luego nos íbamos a encontrar, por compacidad, una larga cuyas raíces enfoque de algunos otros $n$-uple. Pero eso significaría que en el límite $P$ descomponer el uso de ese $n$-uple, es decir, habría dos distintas descomposiciones, contradicción. El alto de la ceja explicación es que el mapa raíces $\mapsto$ polinomios de $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$es continua y adecuada e induce un bijective mapa de $\mathbb{C}^n/S_n \to\mathbb{C}^n$, que es bijective, continua y cerrada, por lo tanto, un homeomorphism. $\tiny{\text{(surjectivity is equivalent to the fundamental theorem of algebra)}}$