Demostrar no es diferenciable en $f$ $(0,0)$

Question

Para $$ f (x, y) =\begin{cases} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & \text{ for }(x,y)\neq (0,0)\ 0 & \text{ for } (x,y)=(0,0) \end{casos} $$

Estoy tratando de demostrar que no es diferenciable en $f$ $(0,0)$. Demostró que si $f$ es diferenciable en $(0,0),$ y $A=Df_{(0,0)}=0.$ pero no sé cómo este conduzca a una contradicción. ¿Alguien tiene ideas?

Answer 1

Si te acercas con el % de caminos $(t,0)$y $(0,t)$, se concluirá que los derivados parciales son 0. Así con el fin de demostrar que no es diferenciable en $(0,0)$ es suficiente para mostrar un camino que conduce a un derivado diferente.

Un camino que puede considerar es $(t,t)$: $t \neq 0$, $f(t,t)=\frac{t |{t}|}{\sqrt{2t^2}} =\frac{t {|t|}}{\sqrt{2} {|t|}} =\frac{t}{\sqrt{2}}$ que lleva un derivado de $\frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$.

Answer 2

Te voy a mostrar que $f$ no es continua. Considerar el % de la línea $y=x$. Ahora,

$\lim_{(x,x)\to (0^+,0^+)} f(x)=1/\sqrt{2}\neq 0$.

$\lim_{(x,x)\to (0^-,0^-)} f(x)=-1/\sqrt{2}\neq 0$.

Porque he encontrado dos direcciones con límites distintos, la función no es continua (y más, no podemos redefinir $f$ porque no existe el límite)