Covarianza y varianza de una v.r. de Poisson

Question

Dado un proceso de Poisson $N(t),t\geq 0$ con tasa $\lambda$ y otra r.v. $T$ independiente de $N(t)$ con la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ Me gustaría calcular las siguientes cantidades:

$$ \mathbb{Cov}(T,N(T)) \ \ \mbox{ and } \ \ \mathbb{Var}(N(T))$$

Mi suposición es, respectivamente: $\lambda \mu + \lambda \sigma^2$ y $\sigma^2\lambda$ . Pero no estoy seguro de que sea correcto ni de cómo justificar algunos pasos.

¿Alguien lo sabe? Muchas gracias.

Answer 1

Desde $$ \mathbb{Cov}\left(T, N(T)\right) = \mathbb{E}\left(T N(T)\right) - \mathbb{E}(T) \mathbb{E}\left(N(T)\right) = \mathbb{E}\left(T \, \mathbb{E}\left(N(T)\mid T\right)\right) - \mathbb{E}(T) \, \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left(N(T)\mid T\right)\right) $$ Pero $\mathbb{E}\left(N(T) \mid T\right) = \lambda T$ Por lo tanto $$ \mathbb{Cov}\left(T, N(T)\right) = \mathbb{E}\left(\lambda T^2\right) - \lambda \mathrm{E}(T)^2 = \lambda \mathbb{Var}(T) $$ De la misma manera: $$ \begin{eqnarray} \mathbb{Var}\left(N(T)\right) &=& \mathbb{E}\left( \mathbb{E}\left(N(T)^2|T\right) \right) - \mathbb{E}\left(\mathbb{E}\left( N(T) \mid T\right)\right)^2 \\ &=& \mathbb{E}\left( \lambda^2 T^2 + \lambda T\right) - \mathbb{E}\left(\lambda T\right)^2 \\ &=& \lambda^2 \mathbb{Var}(T) + \lambda \mathbb{E}(T) \end{eqnarray}$$