¿Cuál es el opuesto de la categoría de $\operatorname{Top}$?

Question

Mi pregunta es bastante impreciso y abierto a modificaciones. No estoy totalmente seguro de lo que estoy buscando, pero la pregunta parecía lo suficientemente interesante como para preguntar:

El opuesto de la categoría de los anillos es la categoría de los afín esquemas. Esto es generalmente considerado como el de la categoría de los espacios. Podemos ejecutar la construcción hacia atrás para las categorías habitualmente se considera que contenga espacios?

Por ejemplo, no $\operatorname{Top}^{\operatorname{op}}$ tiene una buena descripción de como algunos "algebraica" de la categoría?

Tenga en cuenta que no parece fácil describir el opuesto de la categoría de todos los esquemas. Por lo tanto, la pregunta de arriba podría ser pedir demasiado. Tal vez la siguiente es una más manejable (o no) a la pregunta:

Podemos encontrar un "algebraica" de la categoría de $C$ de manera tal que podemos incrustar $C^{\operatorname{op}}$ $\operatorname{Top}$ de tal manera que cada espacio topológico puede ser cubierto por los objetos en $C^{\operatorname{op}}$? Tal vez a uno le gustaría reemplazar este criterio de estar cubierto por objetos de una manera más sólida la idea en general.

Uno puede repetir la pregunta para otras categorías de espacios como:

• Categoría de colectores (tal vez más cerca de los esquemas de general de espacios topológicos)
• De forma compacta generado espacios
• Simplicial Conjuntos

y así sucesivamente. El quizás un ejemplo interesante es el de la categoría de conjuntos finitos, es opuesto categoría es la categoría de finito álgebras Booleanas.

Answer 1

Esto no se ajusta exactamente a sus criterios, pero un estándar de la respuesta a "¿qué $\mathrm{Top^{op}}$ moralmente debe ser" es la categoría de marcos. A grandes rasgos, un cuadro es un poset que actúa como el poset de abrir establece en un espacio topológico. Más precisamente, un cuadro es un poset, en la que cada subconjunto finito tiene un encuentro, cada subconjunto tiene una combinación, y (finito) cumple con distribuir a través de (posiblemente infinita) se une. Una de morfismos de marcos es un mapa que conserva finito cumple y arbitraria une. (Tenga en cuenta que un marco de realidad, automáticamente tiene una infinidad de cumple, pero morfismos no están obligados a conservarlos).

¿Qué tiene que ver esto con $\mathrm{Top^{op}}$? Así, dado un espacio topológico $X$, el poset $\Omega(X)$ de subconjuntos abiertos de $X$ es un marco (desde abrir conjuntos son cerrados bajo finito intersecciones arbitrarias y sindicatos). Y si $X$ $Y$ son espacios topológicos, un mapa continuo $f:X\to Y$ induce un marco homomorphism $f^*:\Omega(Y)\to\Omega(X)$ dado por tomar un conjunto abierto a la inversa de la imagen. Así que esto le da un functor $\Omega$ $\mathrm{Top^{op}}$ a la categoría de marcos.

Por desgracia, $\Omega$ no es una equivalencia. Sin embargo, cuando se limita a sobrio espacios, $\Omega$ es totalmente fiel. Los objetos en la imagen de $\Omega$ son llamados "marcos espaciales", que puede ser más o menos la idea de "marcos con la cantidad suficiente de puntos". El opuesto a la categoría de marcos se llama la categoría de "locales", y la localización puede ser pensado como una generalización de (sobrio) de los espacios que en algunos aspectos es más bien comportado.

Para contar esta historia en su totalidad tomaría un libro, no un MSE respuesta, lo voy a dejar aquí por ahora (algunos detalles más de la historia que se describen en sqtrat agradable respuesta). Para aprender más, algunas palabras clave para buscar son "inútiles topología" y "Piedra de la dualidad". Una buena referencia para estas ideas (y más) es Pedro Johnstone el libro de Piedra espacios.

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario.

Un marco es una completa distribución de celosía $F$ en el que el infinito distributiva de la ley de $a\wedge \bigvee S=\bigvee\{a\wedge s\ |\ s \in S\}$ tiene para todos los subconjuntos de a $S$ y elementos $a$$F$. Un marco homomorphism es un entramado homomorphism que conserva finito cumple y arbitraria une.

Dado cualquier espacio topológico $(X,\mathcal{T})$, $\mathcal{T}$ es un fotograma. Además, si $f: (X,\mathcal{T}) \rightarrow (Y,\mathcal{S})$ es continuo, $f^\ast: \mathcal{S}\rightarrow \mathcal{T}$ es un marco homomorphism, donde $f^\ast(B)=f^{-1}[B]$. Totalmente un primer filtro de $P$ $F$ es un filtro en $F$ tal que para todos los $S\subset F$ si $\bigvee S \in P$, entonces no es un $s \in S$ tal que $s \in P$.

Dado cualquier fotograma $F$, podemos ver la colección de todos los cebar completamente filtros en $F$, decir $Pt(F)$. Podemos topologize $Pt(F)$ definiendo para cada uno de los $a \in F$, $U(a):= \{P \in Pt(F)\ |\ a \in P\}$. A continuación, se comprueba fácilmente que $\{U(a)\ |\ a \in F\}$ es una topología en $Pt(F)$. Además, si $g: F \rightarrow G$ es un marco homomorphism, a continuación, $\bar{g}: Pt(G)\rightarrow Pt(F)$ es un mapa continuo si $\bar{g}$ está definido por $\bar{g}(Q) = g^{-1}[Q]$.

La visualización de estas como functors de $\mathbf{Top}^{\mathrm{op}}\rightleftarrows \mathbf{Frm}$ nos proporciona una equivalencia entre las subcategorías de sobrio espacios y marcos espaciales, respectivamente.

Un sobrio espacio topológico, espacio en el que cada irreductible subconjunto cerrado de X es el cierre de exactamente un punto de X. Un marco espacial es un marco para el que el primer filtros de elementos separados en $F$, es decir: para todos los $a \not\leq b \in F$, existe un completo primer filtro de $P$ $F$ tal que $a \in P$$b \not\in P$.

Además de Eric Wofsey la respuesta de otro texto útil es Picado J., Pultr A. Marcos y locales. Topología sin puntos (Birkhauser, 2012).

Answer 3

Una muy ingenuo enfoque es asociar a un espacio de $X$ ( localmente compacto y separados) el espacio de $C(X)$ de funciones continuas definidas en $X$. Un mapa continuo $f:X\rightarrow Y$ imduces un morfismos $C(f): C(Y)\rightarrow C(X)$. Si el espacio que se cumplan algunas condiciones agradables, la máxima ideales de $C(X)$ puede ser identificado con elementos de $X$.

Ahora usted tiene que identificar la categoría cuyos objetos son $C(X)$. Usted puede considerar la categoría de $R$-álgebras. A un $R$-álgebra $A$, puede asociar el espacio $A(X)$ de su máxima ideales que dotar con el más fuerte de la topología para que los elementos de $A$ son continuas.