Estoy empezando a comprender la idea de una serie de potencias y la forma en que podemos "buscar" las constantes en una expansión de serie de Maclaurin. Sin embargo, lo que aún no entiendo es cómo sabemos que hay una representación infinita en primer lugar.
Tomado del primer capítulo del Análisis Complejo de Markushevich, Vol 1:
Una función $f(x)$ definida en un entorno de $x_0$ es analítica allí si y solo si
Se cumple para cualquier $k \geq 0.
Ya que no puedo ver el interior del libro para enlazar desde google books, dejaré la prueba aquí.
Prueba: Supongamos que $f$ es analítica en $x_0$, esto significa que en algún entorno de $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)$ tenemos $$f(x) = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + \dots$$
También sabemos que puede ser diferenciada término a término obteniendo $$f^{(k)}(x) = k!a_k + \dfrac{(k+1)!a_{k+1}}{1!}(x-x_0) + \dfrac{(k+2)!a_{k+2}}{2!}(x-x_0)^2 + \dots$$
Ahora, si $0 < 2\delta < \varepsilon$, si $|x-x_0| < 2\delta$, entonces la serie converge en $x$. Esto significa que $\lim\limits_{n\to \infty} a_n(2\delta)^n = 0$ (¿Por qué?).
O en otras palabras, el conjunto $\{a_n(2\delta)^n\}$ está acotado, lo que significa que tenemos un $M > 0$, tal que $M > |a_n(2\delta)^n|$ para todo $n.$
Pero ahora, si estamos en el intervalo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$: $$|f^{(k)}(x)| \leq k!|a_k|+ \dfrac{(k+1)!|a_{k+1}|}{1!}\delta + \dfrac{(k+2)!|a_{k+2}|}{2!}\delta^2 + \dots$$
$$\leq k!\dfrac{M}{2\delta^k}+ \dfrac{(k+1)!}{1!}\dfrac{M}{(2\delta)^{k+1}} \delta + \dfrac{(k+2)!}{2!} \dfrac{M}{(2\delta)^{k+2}} \delta^2 + \dots$$
$$ = \dfrac{k!M}{(2 \delta)^k} \bigg[1 + \dfrac{k+1}{1!} \dfrac{1}{2} + \dfrac{(k+1)(k+2)}{2!} \dfrac{1}{2^2}+ \dots \bigg] $$
$$ = \dfrac{k!M}{2^k \delta^k} \bigg(1-\dfrac{1}{2}\bigg)^{-(k+1)} \quad \text{(¿Por qué?)}$$
$$ = 2M\dfrac{k!}{\delta^k}$$
Para terminar, solo pon $M^{'} = 2M$
Ahora, necesitamos probar en la otra dirección, supongamos que $f$ es infinitamente diferenciable en $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ y se cumple la desigualdad para todas las derivadas de $f$ en ese intervalo. Expandiendo en una serie de Taylor con un resto de Lagrange obtenemos:
$$f(x) = f(x_0) + \dfrac{f^{(1)}(x_0)(x-x_0)}{1!} + \dfrac{f^{(2)}(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \dots + \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$
Con $0 < |\xi - x_0| < |x-x_0|$. Aplicando 2 obtenemos que:
$$\bigg\lvert \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \bigg\vert |x-x_0|^{(n+1)} \leq \dfrac{M(n+1)!}{\delta^{n+1}(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} = M \bigg( \dfrac{|x-x_0|}{\delta} \bigg)^{n+1}$$
Pero esto significa que si $|x-x_0| < \delta$ cuando $n \rightarrow \infty$ el término de error tiende a $0$. Significa que $f$ es analítica allí.
Ambas condiciones son necesarias, si solo tuvieras ($1$) por ejemplo, no sería suficiente, ¡ya que hay funciones que son infinitamente diferenciables ($C^{\infty}$) pero que no tienen una representación infinita en series de Taylor en ningún punto! Esto se puede demostrar usando el Teorema de la Categoría de Baire, la afirmación adecuada sería:
El conjunto de funciones en $C^{\infty}$ que en ningún lugar son analíticas es de la segunda categoría.
Esto significa que las funciones en ningún lugar analíticas son un conjunto denso en el conjunto de funciones infinitamente diferenciables. Una prueba se puede encontrar en la Topología de Dugundji pág.$301$.
En un nivel intuitivo, pensamos algo así: "Creo que entiendo los polinomios, pero todas esas otras funciones son súper confusas. ¿Hay alguna forma en la que podría pensar en esas otras cosas como 'grandes' polinomios o algo así?"
La respuesta es un poco complicada, pero en resumen es esto: ciertamente puedes intentarlo, a veces este enfoque de 'gran' polinomio es genial, a veces no funciona tan bien. Veamos por qué (Esto es la serie de Taylor, para MacLaurin con a=0).
si escribimos $$f(x) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + \dots$$ entonces si reemplazamos $a$ descubrimos que $a_0 = f(a)$. Si diferenciamos ambos lados vemos que $$f'(x) = a_1 + 2a_2 (x-a) + 3a_3 (x-a)^2 + \dots$$ entonces si reemplazamos $a$ vemos que $a_1 = f'(a)$. Continuando este proceso encontramos que $$a_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}.$$ Siempre podemos pensar en escribir un 'gran' polinomio (serie de Taylor) siempre y cuando todas las derivadas que necesitamos existan. (Esta es la parte que requiere que $f$ tenga infinitas derivadas continuas.)
El problema surge cuando intentamos usar esta serie para algo que no sea $a$. En $a$ sabemos que la serie converge ya que es solo $f(a) + 0$. Ahora necesitamos hacernos una pregunta difícil: ¿Hasta qué punto podemos alejarnos de $a$ antes de que las cosas se estropeen? La respuesta es el radio de convergencia de la serie. Por lo general encontramos esto con la prueba de la razón.
Si el radio es 0, lo cual sucede a veces, tenemos que abandonar el enfoque de la serie. Si el radio de convergencia es distinto de cero, llamamos a la función analítica en $a$ y podemos (¡con cuidado!) tratarla un poco como un polinomio realmente largo.
Ver este artículo de Wikipedia sobre funciones analíticas.
La condición de que exista una extensión analítica compleja de la función real $ f $ significa que hay un par de funciones, $ u, v $ de dos variables tal que:
$$ u (x,0) = f (x), v (x,0) = 0 \\ \frac {\partial u} {\partial x} = \frac {\partial v} {\partial y} \\ \frac {\partial u} {\partial y} = - \frac {\partial v} {\partial x} $$
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No siempre lo hacemos. Hay ejemplos de funciones suaves que no admiten una serie de Taylor en un punto particular. Afortunadamente, la mayoría de tus funciones favoritas aparecen como soluciones a ecuaciones diferenciales en un punto ordinario, por lo tanto, son analíticas, lo que significa que hay una serie de potencias para ellas. Para obtener más información sobre funciones no analíticas, consulta math.stackexchange.com/q/189841/36530
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Esta es una pregunta muy importante ¡y no tiene una respuesta simple! Gran parte del estudio moderno del análisis comenzó como un intento de entender cuándo las funciones tienen expansiones en series de potencias y bajo qué condiciones esas series de potencias convergen.
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Se vuelve un poco más claro cuando se trabaja con números y funciones complejas. Tener una serie de potencias convergente en algún intervalo abierto de los números reales significa que la función se puede extender a una función compleja "analítica", que es relativamente fácil de definir.
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Esto está sólo lejanamente relacionado con tu pregunta, pero muchas representaciones de series de potencias pueden ser demostradas usando el teorema del binomio. Por ejemplo, expandiendo lo siguiente se obtiene su serie de potencias: $e^x=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac xn)^n$, $\ln(1+x)=\lim\limits_{\epsilon\to0}\dfrac{(1+x)^\epsilon-1}\epsilon$, $\cos(x)+i\sin=\lim\limits_{n\to\infty}(1+i\frac xn)^n`. (Para el último, probablemente necesites usar alguna combinación de De Moivre y L'Hôpital para demostrarlo.)
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Más relacionado con la pregunta, ¿no implica el teorema de Taylor algún tipo de término de error? Si el término de error tiende a cero, entonces la serie de potencias dada por el teorema de Taylor converge a la función... Creo.
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Esta es una pregunta profunda, y si te resulta realmente interesante deberías tomar un curso introductorio en análisis complejo, donde aprenderás todo tipo de resultados geniales sobre funciones y sus series de potencias.