demostrar que la transformada de Joukowski es uno a uno en la mitad superior fuera del disco unitario

Question

Tengo un problema en mostrar cómo la transformada de Joukowski $w=J(z) = .5(z + 1/z)$ toma el medio plano superior, $|z| \gt 1$ , uno a uno en el plano medio superior w. He mostrado cómo el propio disco unitario colapsa sobre el eje real y cómo los puntos fuera de él se aproximan $(x,0)$ como $|z| \rightarrow 1$ desde arriba. Pero creo que se supone que debo demostrar que existe una función inversa de un solo valor, y esto es lo que me atasca. Resolviendo $J(z)=w$ para $z = w±\sqrt{w^2-1}$ y tengo una fórmula bastante más grande para w en términos de $z = x + iy$ que parece más bien lo que debería preocuparme ya que después de todo la otra condición es que $Im(z) \gt 0$ Pero también es posible que tenga que mirar los cortes de las ramas, aunque tampoco sé muy bien cómo tratarlos. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Una forma de demostrar la inyectividad es observar que para cualquier $z_1,z_2$ en su dominio $$ \left|\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_2}\right| = \frac{|z_1-z_2|}{|z_1|\,|z_2|}<|z_1-z_2| \tag1$$ por lo que $$ \frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_2}\ne z_1-z_2 \tag2$$ lo que equivale a $$ z_1+\frac{1}{z_1}\ne z_2+\frac{1}{z_2} \tag3 $$