Hay un % de la matriz $A$tal que: $A^4=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3 &1\\ 0 & 0& 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} ~?$

Question

<blockquote> <p>¿Hay un % de la matriz $A\in \mathbb{C}^{4\times 4}$tal que: $$A ^ 4 = \left (\begin{array}{cccc} 0 & 2 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 3 &1\\ 0 & 0& 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matriz} \right) ~?$$ </p> </blockquote> <p>Cualquier sugerencia se agradece. ¡Muchas gracias!</p>

Answer 1

Jajaja Supongo que $A$ es una matriz de tal. Entonces, $(A^4)^4=A^{16}=0$ por lo que divide a la % polinomio mínimo $m(x)$$A$$x^{16}$. Ya que es el $A$ $4\times 4$, su polinomio mínimo es de grado $\leq 4$ por lo divide de $m(x)$ $x^4$. Entonces, $A^4=0$, contradicción.

Añadido: La idea que subyace detrás de esta prueba es que si una matriz de $n\times n$ es nilpotente (por ejemplo, $A^m=0$ $m>0$), entonces de hecho $A^n=0$.

Answer 2

Si cumple con una matriz de $n\times n$ $A^m=0$ $m$ satisface $A^n=0$.

Tenga en cuenta que si era igual a esa matriz $A^4$ $(A^4)^4=0$, entonces pero entonces $A^4=0$.