$T_1 : V_1 \to V_2$ y $T_2 : V_2 \to V_1$ ambos sobre. Entonces, ¿implica que $V_1$ y $V_2$ son isomorfos como espacios vectoriales?

Question

Estaba tratando la siguiente pregunta :

Dejemos que $V_1$ y $V_2$ sean dos espacios vectoriales tales que existen transformaciones lineales $T_1 : V_1 \to V_2$ y $T_2 : V_2 \to V_1$ ambos en. Entonces, ¿implica que $V_1$ y $V_2$ son isomorfos como espacios vectoriales?

Mi intento:

Cuando $V_1$ y $V_2$ son de dimensión finita, entonces es muy fácil demostrar que la respuesta es afirmativa.

Pero estoy confundido sobre el caso en que ambos son de dimensión infinita. Realmente no tengo ninguna idea en este caso.

¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Sí, en el caso de dimensión infinita se puede demostrar que dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad y, por tanto, definir la dimensión como la cardinalidad de una base. Su hipótesis implica que $\dim(V_1)\ge\dim(V_2)$ y $\dim(V_2)\ge\dim(V_1)$ Por lo tanto $\dim(V_1)=\dim(V_2)$ Por lo tanto $V_1$ y $V_2$ son isomorfas (una biyección entre las bases se extiende a un isomorfismo).