¿$1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{2x}{x + 1}},$ Tiene un mínimo global?

Question

La siguiente función tiene un mínimo global:

$$1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{2x}{x + 1}},$$

¿donde $x \in \mathbb{N}$?

He intentado usar WolframAlpha, pero parece dar un resultado incompatible.

Answer 1

$$1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{2x}{x + 1}}$$

$$=1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}$$

$$=1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}$$

Aplicación de G.M. A.M. tenemos,

$$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}\geq3.((1 + \frac{1}{x})(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}})^2)^{\frac{1}{3}}$$

$$3.((1 + \frac{1}{x})(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}})^2)^{\frac{1}{3}}=3.(\frac{1}{2})^{1/3}$$

La igualdad es cuando $\displaystyle 1 + \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{1 + \frac{1}{x}}}$

Cuadratura de ambos lados que obtenemos,

$$(1 + \frac{1}{x})^{3}=\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow 1 + \frac{1}{x}=\frac{1}{2^{1/3}}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{2^{1/3}}-1=\frac{1}{x}$$

$$\Rightarrow x=\frac{2^{1/3}}{1-2^{1/3}}$$

Ahora Revise los dos enteros más cercanos a x y comparar los valores de la expresión en esos valores y el mínimo global mínima voluntad.

Answer 2

La derivada de la expresión es $$\frac{1}{x(x+1)}\sqrt{\frac{x}{2(x+1)}}-\frac{1}{x^2},$$ que es estrictamente negativo para $x>0$. Por lo tanto, la función es siempre decreciente.

Al $x<-1$, se puede demostrar que la derivada es cero en $x=-2-\sqrt[3]{2}-2^{2/3}\approx -4.84732$. Ver WolframAlpha aquí y aquí.

Por lo tanto, los mínimos locales se produce en $x=-4$ o $x=-5$. No hay mínimos locales para $x>0$.

Answer 3

Desde la función

$$f(x) = 1 + \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{2x}{x + 1}}$$

siempre es decreciente (como señala Daryl), tenemos

$$f(x) > \lim_{x \rightarrow \infty}{f(x)} = 1 + \sqrt{2}.$$