Álgebra geométrica: rotación de un rotor

Question

En resumen mi pregunta es: ¿por Qué es la rotación de un rotor en el álgebra geométrica implementado por una sola cara de la rotación?

Elaborar:

En álgebra geométrica, la rotación de un objeto se hace multiplicando el doble unilateralmente por un rotor y su inversa:

$$V_{\text{rotated}}=RVR^\dagger\qquad(1)$$

Un rotor se define como un elemento normalizado que consta de escalar y un bivector parte:

$$R(\theta) = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)B = e^{\theta/2 B}$$ $$RR^\dagger=1,$$

donde $B$ es una normalizado bivector.

Sin embargo se afirma, por ejemplo, Doran & Lasenby del álgebra Geométrica de los físicos, que la rotación de un rotor se obtiene multiplicando el único unilateralmente por un rotor:

$$R_{1,\text{rotated by }R2} = R_2R_1$$

Como un ejemplo esclarecedor de la rotación de rotar el vector se muestra a continuación:

$$V_{\text{rotated by }R1\text{ and }R2}=R_2R_1VR_1^\dagger R_2^\dagger=R_{\text{tot}}VR_{\text{tot}}^\dagger$$ $$R_{\text{tot}}=R_2R_1,$$

afirmando que esta muestra el rotor $R_1$ se gira a la izquierda multiplicación por $R_2$.

No entiendo esta afirmación. Yo esperaría que saber cómo $R_1$ se comporta bajo de rotación por $R_2$, debemos comprobar que la ecuación de $(1)$,$R=R_1$, aún se mantiene en un marco girado por $R_2$. Uno debe, por tanto, una rotación de todos los elementos en la ecuación de $(1)$:

$$V_{\text{rotated by }R1\text{ and }R2}=R_{1,\text{rotated by }R2}V_{\text{rotated by }R2}R_{1,\text{rotated by }R2}^\dagger$$

Esto conduce a una doble cara de la regla de la multiplicación para rotores:

$$R_{1,\text{rotated by }R2}=R_2R_1R_2^\dagger$$

Que es claramente diferente de la de una sola cara formulario.

¿Por qué es esto incorrecto?

Answer 1

Este es el texto que se está refiriendo a:

Rotaciones para un grupo, como el resultado de la combinación de dos rotaciones es una tercera rotación. El mismo por lo tanto debe ser cierto de los rotores. Supongamos que $R_1$ $R_2$ generar dos distintas rotaciones. La combinación de rotaciones tome $a$ a

$$a\mapsto R_2(R_1(a)R_1^\dagger)R_2^\dagger=R_2R_1aR_1^\dagger R_2^\dagger$$

Por lo tanto, definir el producto del rotor $R=R_2R_1$

de modo que el resultado de la composición de rotación es descrito por $RaR^\dagger$, como de costumbre. El producto $R$ es un nuevo rotor, y en general consistirá geométrico de los productos de un número par de vectores unitarios[...]

No hay nada que se mencionan aquí acerca de "rotación de los rotores," sólo las composiciones de las rotaciones, y el significado del pasaje parece completamente claro: para el cálculo de la composición de rotaciones, que acaba de multiplicar.

(en los comentarios)

¿cómo funciona un rotor se comportan bajo una rotación de la imagen de referencia?

Bueno, eso es un tema completamente diferente de la composición de rotaciones!

Si $C$ es el rotor, que se convierte de la vieja base $\{e_1,\ldots, e_n\}$ sobre la nueva base $\{f_1,\ldots f_n\}$, luego

$CRe_iR^\dagger C^\dagger = CRC^\dagger f_iCR^\dagger C^\dagger$, y por lo $CRC^\dagger$ expresa la rotación en la nueva base de $f_i$'s.

Personalmente no me gusta la idea de usar la frase "la rotación de un rotor." Conceptualmente se supone que hay una brecha entre "espacio" y "operadores". Es decir, el espacio es el conjunto de los modelos que lo que se está transformando, y los operadores se lo que hacer la transformación.

"La rotación de un rotor" me hace pensar que las dos cosas se enredaron juntos. (Aunque, podría ser una buena regla mnemotécnica para recordar cómo ortogonal de cambio de base se puede utilizar.) Tal vez algo parecido a esto es lo que llevó a su pregunta.

Answer 2

A partir de la definición de un desgarro, es natural que la concatenación de los rotadores seguir las reglas

$$R_2R_1VR_1^\dagger R_2^\dagger=R_{\text{tot}}VR_{\text{tot}}^\dagger$$ donde $$R_{\text{tot}}=R_2R_1.$$

Pero también es necesario

$$R_{\text{tot}}^\dagger=R_1^\dagger R_2^\dagger,$ $ , que no es necesariamente implícita en la anterior.

Y esto no dice nada acerca de la manera de calcular los coeficientes del total de los rotadores y su daga de la contraparte.

Ahora, esto puede muy bien ser que la "rotación de un desgarro" es un meningless operación, o a uno que no ceder a otro de los rotadores. Lo que importa es la capacidad de concatenete rotadores, no para hacerlos girar.