Sobre la extensión de las soluciones a las EDOs

Question

He estado tratando de entender algunos teoremas sobre la extensión de las soluciones y todavía tengo algunas preguntas.

Los teoremas dicen cosas sobre que la solución se escapa de los conjuntos compactos, que no tiene límites, etc. pero tengo problemas para aplicarlos a ecuaciones concretas.

¿Hay alguna forma de estimar el tamaño del intervalo de una solución?

Por ejemplo, dada la ecuación

$x' = 1 + x^2$

¿cómo podemos saber, sin resolverla explícitamente o numéricamente, que el intervalo donde se definen sus soluciones tiene longitud finita? Esto es bastante fácil de ver si se resuelve la ecuación como se obtiene

$x(t) = tan(c + t)$

que sólo se define en intervalos de longitud finita.

Pero ¿cómo se podría llegar a la misma conclusión sólo estudiando $f(x) = 1 + x^2$ ? ¿Es esto posible?

Por otra parte, ¿cómo se puede demostrar que una solución puede extenderse hasta el infinito?

Gracias de antemano.

Answer 1

Existe un teorema general sobre la existencia de soluciones globales que puedes encontrar en

• Wolfgang Walter: "Ecuaciones diferenciales ordinarias", Springer

Párrafo XIII Existencia de soluciones globales

Si para una ecuación diferencial $$ x' = f(t, x) $$ en $[0, \infty]$ hay funciones diferenciales $v, w$ con $$ v \le w $$ y $$ P w \le 0 \le P v $$ donde $P$ denota el defecto de una función: $$ P w := w' - f(x, w) $$ entonces hay una solución global $x$ con $$ v \le x \le w $$

Este es un tipo de teorema de comparación. En nuestro caso de ecuaciones diferenciales ordinarias sobre $\mathbb{R}$ es posible ser más concreto y demostrar que existe una solución global si la función $f(t, x)$ crece como máximo linealmente en $x$ (pero que esta afirmación es falsa si se sustituye el crecimiento lineal por un límite superior $|x^{r}|$ con $r\gt 1$ ). Creo que este es un teorema importante, pero sorprendentemente no se menciona en la mayoría de los libros de texto de ODE que conozco. Sin embargo, hay una fuente en línea, aquí . Obsérvese el teorema 2.17 y la proposición 2.18.

Así, para $$ f(t, x) = 1 + x^2 $$ puedes ver que todas las soluciones explotarán en un tiempo finito $t$ porque crece más que linealmente en $x$ .

Sin embargo, no sé nada sobre las estimaciones del intervalo máximo.

Answer 2

Demostremos por ejemplo que si $f(x)\ge x^2$ entonces cualquier solución de $x'=f(x)$ con $x(\pi/4)=1$ no puede existir más allá de $t=1+\pi/4$ . Esto es ciertamente el caso de su $x'=1+x^2$ y la solución $x=\tan t$ .

Usted tiene $x'\ge x^2$ . Así, $x^{-2}x'\ge1$ . Integrar desde $\pi/4$ a $t$ dando $-x^{-1}+1\ge t-\pi/4$ . Reordenar esto para obtener $$x\ge\frac{1}{1+\pi/4-t}$$ Eso es todo, a menos que haya metido la pata en alguna parte.

Para tu pregunta sobre la extensión de soluciones, empieza con el teorema de existencia de Cauchy Picard teorema de existencia de Cauchy Picard en cualquier buen libro, donde se da un tiempo corto de existencia (en la demostración si no en el enunciado) en función de $f$ y las condiciones iniciales. Para ir más allá mira un caso como el modelo logístico $x'=x-x^2$ con $0<x(t_0)<1$ . Cauchy-Picard garantiza un intervalo de existencia de una longitud de 10 aproximadamente, significativamente independiente de la condición inicial, y se argumenta, digamos a partir del campo inclinado, que la solución permanece en $[0,1]$ . Por lo tanto, se puede aplicar Cauchy-Picard repetidamente para afirmar que la solución puede ser extendida para todo $t$ .

Answer 3

Otra técnica que suele ser útil es intercambiar las variables independientes y dependientes. Considere de nuevo $\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$ . Si usted hace $x$ el dependiente y $y$ la variable independiente, se obtiene $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+y^2}$ . Tenga en cuenta que, dado que $1 + y^2 > 0$ soluciones de la primera ED con $y(x_0) = y_0$ definido para $x \in [x_0, x_1]$ corresponderán a soluciones de la segunda ED con $x(y_0) = x_0$ definido para $y \in [y_0, y_1]$ donde $x(y_0) = x_1$ . Ahora para tal solución, $x(y) = x_0 + \int_{y_0}^{y_1} \frac{dy}{1+y^2}$ . Pero como $\int_{y_0}^\infty \frac{dy}{1+y^2} < \infty$ esta segunda ecuación tendrá soluciones para todos los $y>0$ pero con $x(y)$ que se mantienen limitados. Dando la vuelta a eso, dice que el intervalo $[x_0, b)$ donde se define la primera ecuación debe ser acotada, con una longitud $\int_{y_0}^\infty \frac{dy}{1+y^2}$ .