Superposición de vevs diferenciadas en ruptura espontánea de simetría.

Question

El más simple cuenta de ruptura espontánea de simetría va como esta.

• Tome un potencial de $V(\phi)$ con simétrica de los mínimos de los que no están en $\phi = 0$, como el sombrero Mexicano potencial que se muestra en este sitio del logotipo.
• Dado que las variaciones en el campo de energía de costos debido a la $(\partial_\mu \phi)^2$ plazo, mínimo configuraciones de energía constante $\phi$.
• Por lo tanto, el nivel más bajo de energía de los estados han $\phi$ igual a uno de los mínimos de $V(\phi)$. Por lo tanto hemos de ruptura de simetría, porque el vacío del estado (cualquiera que elegimos) no tiene la simetría que $V$ tenía.
• En el quantum caso, todo funciona de la misma, a excepción de la solución clásica $\phi = c$ hace $\langle \phi \rangle = c$. A continuación, hemos de vacío múltiples estados, cada uno de los que rompen con la simetría.

Soy sospechoso sobre la última afirmación. Supongamos $V$ tiene dos mimima, dando dos degenerados vacío estados, $|+\rangle$$|-\rangle$.

La mecánica cuántica permite la superposición, por lo que no podemos tomar a $(|+\rangle + |-\rangle)/\sqrt{2}$ como nuestro vacío? En este estado no romper la simetría.

Answer 1

El estado que usted propone es prohibida por algo que a menudo se llama un superselection regla. Hay al menos dos formas de verlo.

Primero de todo, la ruptura espontánea de simetría sólo es posible en volumen infinito. Uno puede mostrar, que en el límite de gran volumen, cualquier elemento de la matriz $$ \left\langle +\right\vert Un\left\vert -\right\rangle $$ entre los diferentes vacío de los estados tiende a cero. Esto significa que no hay manera de evolucionar, excite, etc, de un vacío de estado a otro (esencialmente porque sería infinita de energía). Por lo tanto, los estados construido sobre uno de los vacío estados no "hablar" a los estados construida en otras vacío de los estados, y su espacio de Hilbert es una suma directa de $$ \mathcal{H}=\mathcal{H}_+\oplus\mathcal{H}_-, $$ y ninguno de los observables de tomar usted de $\mathcal{H}_+$ $\mathcal{H}_-$o viceversa. Mientras que usted puede considerar las combinaciones lineales que se sugiere, obviamente no hay ningún significado físico.

Otro punto de vista es que el verdadero vacío estados $\left\vert \pm\right\rangle$ son aquellos para los cuales el clúster de descomposición posee propiedad, y no mantiene para las combinaciones lineales. Clúster de la descomposición de la propiedad es la idea física que bien separados de los experimentos sobre el vacío del estado no debe ser correlacionados. Más precisamente, se dice $$ \left\langle \Omega\right\vert \phi(x_1)\ldots\phi(x_n)\phi(y_1+z)\ldots\phi(y_k+z)\left\vert \Omega\right\rangle\a\left\langle \Omega\right\vert \phi(x_1)\ldots\phi(x_n)\left\vert \Omega\right\rangle\left\langle \Omega\right\vert \phi(y_1)\ldots\phi(y_k)\left\vert \Omega\right\rangle, $$ por lo suficientemente grande spacelike $z$. Está claro que si esta propiedad se mantiene en algunos de vacío de los estados, no tienen en sus arbitrarias de las combinaciones lineales, puesto que la ecuación no es lineal en $\Omega$. En realidad se puede tratar como la ecuación que determina la verdadera tierra de los estados.

Recomiendo la lectura del capítulo sobre la ruptura espontánea de simetría en Weinberg QFT II.