Encontrar el polinomio mínimo de una matriz en el espacio vectorial real de funciones continuas de valor real.

Question

Estoy estudiando para un final de álgebra lineal y estoy trabajando con algunos problemas de exámenes antiguos:

En el espacio vectorial real de las funciones continuas de valor real definidas en $\mathbb{R}$ considere las siguientes funciones $p_i, i =0,1,2$ y $\exp$ definidos de la siguiente manera: $p_i(x)=x^i$ y $exp(x)=e^x$ para todos $x\in \mathbb{R}$ . Establecer $V=span_\mathbb{R}\{p_0,p_1,p_2,\exp\}$ y considerar el endomorfismo $\sigma: V\to V$ definido como $$(\sigma f)(x):= f(x-1) \text{ for all } x\in \mathbb{R}$$ Determinar la representación matricial, el polinomio característico, los eigenspaces y el polinomio mínimo de $\sigma$ . Es $\sigma$ ¿diagonalizable?

Creo que tengo todo menos el polinomio mínimo (por favor, corregidme si me equivoco). He determinado que la representación matricial es $$A:=[\sigma]_\beta^\beta = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e^{-1} \end{pmatrix}$$ Además, el polinomio característico $\chi_A = (x-1)^3(x-e^{-1})$ y he encontrado que los eigenspaces son $$\left\langle \begin{pmatrix} p_0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \right\rangle \text{ and } \left\langle \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \exp \end{pmatrix} \right\rangle$$ Por lo tanto, dado que el valor propio $1$ tiene multiplicidad algebraica $3$ pero la multiplicidad geométrica $1$ , $\sigma$ no es diagonalizable.

Sé que el polinomio mínimo $M_A$ divide $\chi_A$ Así que $M_A$ es $(x-1)(x-e^{-1})$ , $(x-1)^2(x-e^{-1})$ o $(x-1)^3(x-e^{-1})$ . En teoría, sé que si el polinomio de menor grado con $A$ como raíz es el polinomio mínimo, pero comprobarlo parece complicado desde el punto de vista computacional para un examen de papel y lápiz. ¿Hay alguna forma mejor?

Answer 1

Para entender qué poder de $x - 1$ verás en el polinomio mínimo, basta con entender el polinomio mínimo de la matriz

$$B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ .

Si denotamos por $m_B(X)$ el polinomio mínimo de $B$ el polinomio mínimo de $A$ será

$$m_A(X) = m_B(X - 1)(X - e^{-1}).$$

Ahora, $B$ es un $3 \times 3$ matriz nilpotente y $B \neq 0$ por lo que sólo tenemos que comprobar si $B^2 = 0$ o no para deducir el polinomio mínimo. Dado que $B^2 e_3 = B(e_1 - 2e_2) = 2e_1$ vemos que $B^2 \neq 0$ y así $m_B(X) = X^3$ y $m_A(X) = (X - 1)^3(X - e^{-1})$ .