Ecuación de Diophantine lindo (simplificar la expresión)

Question

Encontrar el mayor entero $n$ $1000$ menos de la forma

$n=(x+\sqrt{x^2-1})^{\frac{4}{3}}+(x+\sqrt{x^2-1})^{\frac{-4}{3}}$

para algún entero positivo $x$.

Answer 1

Escriba $$u:=x+\sqrt{x^2-1}=e^{3t}\quad(t\geq0)\ .$ $ y $$x={1\over2}\left(u+{1\over u}\right)=\cosh(3t)$ $ y $${n\over2}={1\over2}(u^{4/3}+u^{-4/3})=\cosh(4t)\ .$ $ sigue ese % $ $$8x^4-8x^2+1=\cosh(12t)=4\left({n\over2}\right)^3-3\left({n\over2}\right)\ $(ver el comentario de abajo san), así que el $x$ $n$ relacionan y por %#% $ #% esto implica que el $$4(2x^2-1)^2=n^3-3n+2=(n-1)^2(n+2)\ .\tag{1}$ tiene que ser un cuadrado: $n+2$. Introduciendo esto en $n+2=m^2\geq4$ y tomando la raíz cuadrada obtenemos $(1)$ $ que conduce entonces a % $ $$2(2x^2-1)=(m^2-3)m\ ,$esto muestra que el $$x^2={1\over4}(m^2-3m+2)={1\over4}(m-1)^2(m+2)\ .$ tiene que ser un cuadrado así: $m+2$. Esto nos lleva a %#% $ #% de esta manera obtenemos $m+2=p^2\geq4$ el % de pares $$x={p(p^2-3)\over2},\qquad n=m^2-2=16p^4-16p^2+2\ .$$ por lo tanto es la respuesta a la pregunta original $p\geq2$.

Answer 2

Deje $x \ge 1$ ser un número entero, y deje $u = (x + \sqrt {x^2-1})$.

Entonces si $u^{4/3} + u^{-4/3}$ es un número entero $n$,$n > 0$, y por cubicación llegamos $n^3 = u^4 + 3u^{4/3} + 3u^{-4/3} + u^{-4} = u^4 + 3n + u^{-4}$

Por lo $n^3-3n = u^4 + u^{-4} = 2x^4 + 12x^2(x^2-1) + 2(x^2-1)^2 = 16x^4 - 16x^2 +2$

A continuación, $(n-1)^2(n+2) = n^3-3n+2 = (4x^2-2)^2$

$n+2$ tiene que ser el cuadrado de un número entero, así que vamos a $m = \sqrt {n+2}$. Desde $n >0$ tenemos $m \ge 2$. La sustitución de $n$$m^2-2$, y tomando la raíz cuadrada, obtenemos

$(m^2-3)m = 4x^2-2$ (ambos lados son positivos).

A continuación, de nuevo, $(m-1)^2(m+2) = 4x^2$, y por lo $m+2$ a (de nuevo) el cuadrado de un número entero, así que vamos a $t = \sqrt {m+2} \ge 2$. La sustitución de $m$$t^2-2$, y tomando la raíz cuadrada , obtenemos

$t^3-3t = 2x$.

Por lo tanto, el número entero soluciones tienen que ser de la forma $(x = \frac 12 (t^3-3t), n = (t^2-2)^2-2 = t^4-4t^2+2)$$t \ge 2$.

---

Además, debemos ser capaces de escribir $u$ como un cubo en $\Bbb Q(t)[\sqrt{x^2-1}]$:

$u^4 = (8x^4-8x^2+1) + (8x^3-4x)\sqrt{x^2-1}$ también debería ser igual a $(\frac 12 n + y\sqrt{x^2-1})^3$ algunos $y \in \Bbb Q(t)$.

Mirando la primera coordenada tenemos $8x^4-8x^2+1 = \frac 12 (n^3-3n) = \frac 18 n^3 + \frac 12 3ny^2(x^2-1)$, lo que da $y^2 = \frac {n^2-4}{4(x^2-1)}$

Viendo la segunda obtenemos $8x^3-4x = \frac 34 n^2y + y^3(x^2-1) = y(\frac 34 n^2+ \frac 14 (n^2-4)) = y(n^2-1)$ por lo $y = \frac {8x^3-4x}{n^2-1}$

Ahora, debemos tener $u^{1/3} = u^{4/3} / u = (\frac 12 n + y\sqrt{x^2-1})(x - \sqrt {x^2-1})$

$= (\frac 12 nx -y(x^2-1)) + (xy - \frac 12 n)\sqrt {x^2-1}$

Ahora no he hecho el cálculo simbólico, pero experimentalmente esto simplifica abajo (sorprendentemente) $u^{1/3} = \frac t 2 + \frac 1 {t^2-1} \sqrt {x^2-1}$.

Computación $x^2-1$ revela que $x^2-1 = \frac 14 (t^2-1)^2(t^2-4)$, por lo que $u^{1/3} = \frac t 2 + \frac 1 2 \sqrt {t^2-4}$, que es un entero algebraico al $t$ es un número entero, como se esperaba.

---

Una vez que "adivinado" este, la comprobación de que $(\frac t 2 + \frac 1 2 \sqrt {t^2-4})^3 = x + \sqrt{x^2-1}$ y $(\frac t 2 + \frac 1 2 \sqrt {t^2-4})^4 = \frac n2 + ? \sqrt{\ldots}$ es todo el cálculo se debe hacer para comprobar que estas son las soluciones.

Answer 3

Considerar la:

$$a+\frac{1}{a} = n$$

Que $a=\frac{p}{q}$, entonces $$\frac{p^{2}+q^{2}}{pq}=n$ $ $$\frac{(p-q)^{2}}{pq}+2 = n $ $

Que $p=q+l$, así:

1) $l = 0$ y $p=q=a=1$ y usted podría terminar fácil.

2) $l$ > $0$ y $$ \frac{l^{2}}{q(l+q)} = n - 2$ $, pero primer sumando no es un número entero. Así que es falso.