Variedades Brauer-Severi como cocientes de formas de $\text{GL}_2$

Question

Dejemos que $L/F$ sea una extensión galois finita de campos, con el grupo galois $\Gamma$ . Sea $X$ sea una variedad sobre $F$ tal que $X_L \cong \mathbb{P}^1_L$ en $L$ correspondiente a una clase de cohomología $\alpha \in H^1(\Gamma,\text{PGL}_{2,L})$ ; $\alpha$ determina un $F$ -forma $G$ de $\text{GL}_{2}$ mediante el mapa

$$H^1(\Gamma,\text{PGL}_{2,L}) \rightarrow H^1(\Gamma,\text{Aut}(\text{GL}_{2,L})).$$

Puede $X$ se considere un espacio homogéneo para $G$ ¿de alguna manera?

Answer 1

No es casualidad que las formas retorcidas de $P^1$ y formas retorcidas de $GL_2$ se clasifican con los mismos datos. Esto se explica muy bien en estas diapositivas la clase de cohomología $\alpha$ determina un álgebra de cuaterniones $B$ en $F$ (dividido en $L$ ), y ambos $G$ y $X$ están determinados naturalmente por $B$ El grupo $G$ es sólo el grupo unitario $B^\times$ , mientras que $X$ es la variedad de ideales derechos bidimensionales de $B$ .

No creo que $X$ será un espacio homogéneo para $G$ Sin embargo, si $B$ no es el álgebra dividida, entonces $G$ es anisotrópico (no tiene subgrupos parabólicos no triviales) y por lo tanto no puede actuar transitivamente sobre ninguna variedad proyectiva no trivial.

EDITAR. He vuelto a pensar en esto y me he dado cuenta de que el párrafo anterior está mal. Si $E/F$ es cualquier extensión, entonces el estabilizador de cualquier $x \in X(E)$ será un subgrupo parabólico de $G$ definido sobre $E$ . Si $B$ no es el álgebra dividida, entonces sabemos que $G$ no tiene ningún subgrupo parabólico definido sobre $F$ ; pero eso no es una contradicción, porque $X(F)$ está vacía.

Si se utiliza la descripción de $X$ como la variedad de ideales derechos bidimensionales en $B$ entonces es realmente obvio que $B^\times$ actúa sobre $X$ (por multiplicación por la izquierda de los ideales). Sobre una extensión adecuada (como $L$ ) esto se convierte en la acción habitual de $GL_2 / L$ en $\mathbf{P}^1_L$ por lo que tiene que ser transitivo. Así que $X$ es efectivamente un espacio homogéneo para $G$ .