¿Cuántas funciones distintas$f : \{1, 2, 3, 4, 5 \} \to \{1, 2, 3 \}$ hay?

Question

¿Cuántas distintas funciones <span class="math-container">$f : {1, 2, 3, 4, 5 } \to {1, 2, 3 }$</span> existen, desde el conjunto <span class="math-container">${1, 2, 3, 4, 5}$</span> para el conjunto de <span class="math-container">${1, 2, 3}$</span>, cuyo rango es un conjunto de tamaño exactamente <span class="math-container">$2$</span>?

Tengo <span class="math-container">$3^5$</span> número total de funciones pero no sabe cómo ir más allá?

Answer 1

Primero tenemos que decidir qué elementos componen la función del rango. Hay $\binom32=3$ formas de hacerlo.

A continuación, para cada elemento en el dominio de la función, se deberá decidir si se asigna a la menor o mayor elemento en que intervalo elegido. Hay $2^5=32$ formas de hacerlo, pero dos de ellos mapa de todos los elementos del dominio a sólo un elemento en el codominio, por lo que son excluidos. Por lo tanto, hay 30 posibles funciones para cada opción de la gama, y el 90 funciones en todos la satisfacción de las condiciones dadas.

Answer 2

Usted puede elegir un elemento de dos de <span class="math-container">${1,2,3}$</span> <span class="math-container">$\binom 32=3$</span> manera y para cada elección tan allí existe <span class="math-container">$2^5$</span> muchas funciones. Pero 2 de ellos son constantes. Así, para cada conjunto de dos elementos de la gama, hay <span class="math-container">$2^5-2$</span> número de funciones no constantes. Por lo tanto, el número total de funciones es <span class="math-container">$3\times(2^5-2)=90.$</span>