¿Cómo probar la siguiente identidad con respecto a las transformadas de Laplace?

Question

Intenté resolverlo mediante la integración por partes, pero no tuve éxito.

PS

Answer 1

\begin{align} F(p) G(p) &= \int_0^\infty e^{-pu}f(u)\ du\int_0^\infty e^{-pv}g(v)\ dv \\ &= \int_0^\infty\int_0^\infty e^{-p(u+v)}f(u)g(v)\ du\ dv \,\,\, , \,\,\, \text{u+v=t} \,\, , \,\, \text{v=x}\\ &= \int_0^\infty\int_x^\infty e^{-pt}f(t-x)g(x)\ dt\ dx \,\, , \,\, \text{changing order of integration}\\ &= \int_0^\infty e^{-pt}\Big[\int_0^tf(t-x)g(x)\ dx \Big]\ dt \\ &= {\cal L}(f*g)(t) \end{align}