¿Qué tipo de objeto es una forma diferenciada?

Question

Esta es una pregunta ingenua, disculpas de antemano. Para un punto de $p \in M$ sobre una suave colector $M$, un diferencial de la forma puede ser visto como un mapa $$T_p M\times \cdots \times T_p M \to \mathbb{R} \;.$$ Lo que me intriga acerca de este objeto es que no es "diferencial". Sí, lo sé, el espacio de la tangente $T_p M$ es diferencial en la que es tangente. Pero si $M=\mathbb{R}^n$, pierdo el sentido intuitivo de tangencia, y sólo terminar con un mapa de $k$ vectores de a $\mathbb{R}$ con ciertas propiedades (el mapa es multilineal, y alterna).

Busco una manera de ver las formas diferenciales de forma intuitiva que de alguna manera hace hincapié en sus aspectos diferenciales. Ayuda sería muy apreciada---Gracias!

Answer 1

En lo que podríamos llamar ingenuo cálculo, para cada coordenada $x_i$, el diferencial de $dx_i$ denota una pequeña (infinitesimal, incluso) variación en $x_i$, así que un covector $\sum_i a_i dx_i$ es un cambio infinitesimal.

En un colector, las coordenadas son sólo local, no global, por lo que también debemos imaginar que este covector se encuentra en un punto determinado de $M$. Si queremos tener un covector varían suavemente en cada punto, esto es un diferencial de un formulario.

Si $f$ es una función, entonces la diferencial total de $f$ es la cantidad $$df = \sum_i \dfrac{\partial f}{\partial x_i} dx_i, $$ y que registra como $f$ está cambiando, en cada punto.

Un vector tangente en un punto es una cantidad $v = \sum_i a_i \dfrac{\partial}{\partial x_i}$; usted debe pensar en esto como un vector que señala infinitesimalmente, basado en un punto cualquiera tenemos en mente. Usted puede medir el cambio de $f$ en la dirección $v$ por el emparejamiento de $df$$v$.

Resumen: los vectores de tangentes son infinitesimales direcciones de acuerdo en un punto, mientras que covectors son medidas de cambio infinitesimal. Usted puede ver cuánto se está produciendo un cambio en una dirección determinada por la vinculación de la covector con el vector.

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Ahora más alto grado diferencial de las formas son de cuña de productos de $1$-formas. Usted puede pensar en estos como la medición infinitesimal de piezas orientadas $p$-dimensiones de los volúmenes. (Piense acerca de cómo la (orientado a) el volumen de una orientada a $p$-dimensiones parallelapiped distribuidos por vectores $v_1,\ldots,v_p$ sólo depende de $v_1\wedge\cdots\wedge v_p$.)

Answer 2

Probablemente hay varias formas equivalentes para definir formas diferenciales.

Un punto de partida natural es como un vector paquete. I. e. de la misma manera que $TM\rightarrow M$ en cada punto de $p\in M$ da el espacio vectorial $T_pM$ de los vectores de tangentes en $p$, podemos definir a la $T^*_pM$ como el espacio vectorial de la cotangente vectores en $p$. Al menos esto deja claro que el $T^*M\rightarrow M$ es un vector paquete. Un formulario es sólo una sección (es decir, el vector de campo) en $T^*M$: es decir, un mapa de $M\rightarrow T^*M$ que se asigna a $p\in M$ a un vector en $T^*_pM$.

Una manera obvia para definir $T^*M$ es como el vector dual paquete de $TM$: es decir, $T^*_pM$ es el doble de espacio vectorial de $T_pM$. Esto es sólo una manera de reafirmar que proporciona un mapeo $TM\rightarrow\mathbb{R}$, pero al menos me resulta más intuitivo pensar de ellos como vectores (dual a la tangente vectores) que lineal mapas de vectores tangente a $\mathbb{R}$.

Otra manera de definir el $T^*_pM$ $\frak{m}_p/\frak{m}_p^2$ donde $\frak{m}_p$ contiene funciones diferenciables definidas en un barrio de $p$ que son cero en $p$: si $f,g$ son funciones que son ambos cero en $p$, $f\sim g$ en $\frak{m}_p/\frak{m}_p^2$ si $f-g=\sum a_ib_i$ donde $a_i,b_i$ son funciones que son cero en $p$. I. e. la cotangente vectores (o diferenciales) de captura de la primera orden de la variación de funciones. Esta definición tal vez capta más claramente que la cotangente vectores representan la dirección en la que las funciones de aumento.

Otra forma es buscar en la integración, y ver cómo los diferenciales usados, transformar por ejemplo, en virtud del cambio de variables. Esto sólo proporciona las reglas algebraicas que las formas diferenciales que se deben satisfacer, no una definición de lo que son.

Answer 3

La versión integral de una $n$-forma es un gadget que las "medidas" (dirigida) $n$-dimensiones. Por ejemplo, el flujo de un campo vectorial es un gadget que, cuando se administra un (dirigida) de la superficie, produce un número: el flujo del campo vectorial a través de la superficie.

El diferencial de la versión de este gadget en un punto, suponiendo que se trata de "diferenciable", tendría que ser capaz de producir un número dado el diferencial de la versión de un $n$de la superficie en ese punto, es decir, cuando se da la tangente $n$-vector. Para finalizar la conexión a la definición específica que usted dio, (pura) de la tangente $n$-vector puede ser descrito por $n$ tangente vectores; por ejemplo, como el $n$-vector descrito por el paralleltope Qiaochu menciona.

Sin embargo, a menudo me siento que uno no debe pensar acerca de la conexión de formas diferenciales para el cálculo diferencial en términos de geometría infinitesimal. En su lugar, usted debe dejar que las propiedades del operador de la derivada de darle una intuición acerca de 'infinitesimal álgebra', de la que formas diferenciales son un ejemplo. (por ejemplo, propiedades como la regla de $d(fg) = f \, dg + g \, df$ al $f$ $g$ son campos escalares)