En soluciones enteras de$2\sqrt{\sqrt{2x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{2y}$

Question

$\textsf{Background}$

Desde el doble ángulo de fórmula $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$, podemos obtener $$\cos15^\circ=\sqrt{\frac{1+\cos30^\circ}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}2$$ but we also know that it is equivalent to $\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

Este es un ejemplo de una igualdad tal que $$2\sqrt{\sqrt{2x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{2y}$$ after some rearranging. We can write $y$ in terms of $x$ without much bother: $$y=2+\frac x2+2\sqrt{1+\sqrt{2x}}-\sqrt{2x(1+\sqrt{2x})}.$$ But when are $x$ and $$ y enteros? Aquí es un gráfico de la curva:

Algunas de las soluciones más obvias son $(0,0)$, $(0,4)$, $(2,3)$ e $(32,0)$. Por supuesto, $x=2k$ para algunos entero $k$, lo que nos deja con $$y=2+k+2\sqrt{1+2\sqrt k}-2\sqrt{k(1+2\sqrt k)}$$ Hence this boils down to finding $k$ such that $$(1-\sqrt k)\sqrt{1+2\sqrt k}$$ es un número entero. Cualquier avance en este?

Answer 1

La condición indicada conduce fácilmente a $$(\sqrt x + \sqrt{2y} - 2\sqrt2)^2 = 8 - 4\sqrt y.$ $ Por lo tanto, $0 \le y \le 4.$ Intentando cada valor de $y$ a su vez, uno encuentra que las únicas soluciones con $x$ también un número entero son las cuatro ya establecidas .