La integral del seno se define comúnmente como $\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t}\,dt$. Parece que por el Teorema Fundamental del Cálculo, la derivada de $\operatorname{Si}(x)$ es $\frac{\sin x}{x}$. Sin embargo, no es uno de los supuestos violado, es decir, que $\frac{\sin t}{t}$ ser $[0, x]$ ($x$ es no negativo)? No se define a $0$, lo que significa que la integral del seno es en realidad un inadecuado. Por lo que se vuelve $\operatorname{Si}(x) = \lim_{a\to 0^{+}}\int_a^x \frac{\sin t}{t}\,dt$ que luego se tienen que diferenciar. Obviamente, usted puede evitar el problema mediante la redefinición como $\int_1^x \frac{\sin t}{t}\,dt$ por ejemplo. Mi pregunta es si la FTC puede ser aplicado inmediatamente a la integral cuando el límite inferior es de $0$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Vamos a entender que cuando estamos tratando con la integral de Riemann $\int_{a} ^{b} f(x) \, dx$ entonces es un requisito previo que $f$ está definido y delimitado en $[a, b] $.
Normalmente la función de $f$ está dada por una fórmula para $f(x) $ en términos de $x$ y en el caso actual $f(x) =(\sin x) /x$. Cuando la función se especifica en la forma no puede ser un escenario cuando la definición de la fórmula es de sentido para algunos valores de $x$ en el intervalo de $[a, b] $. Si hay un número finito de tales valores excepcionales de $x$ en $[a, b] $ para que la fórmula para $f(x) $ en términos de $x$ no tiene ningún sentido, a continuación, esto no es un problema en absoluto. Cambio de los valores de una función en un número finito de puntos en $[a, b] $ no afecta el acotamiento y la integrabilidad de Riemann de la función y el valor de la integral de Riemann (si la integral existe). Por lo tanto, en tales escenarios, estamos en libertad para asignar los valores de la función en estos excepcional puntos en cualquier forma que desee.
Para el problema actual se puede definir $f(0)$ a ser cualquier número sin ningún problema. En este caso tenemos la suerte como $0$ resulta ser una discontinuidad removible para $f(x)=(\sin x) /x$ y, por tanto, la definición de $f(0)=1$ hace la función de $f$ continua y el Teorema Fundamental del Cálculo se aplica para demostrar que $\operatorname {Si} '(x) =\dfrac{\sin x} {x}, x\neq 0$ e $\operatorname {Si}' (0)=1$. Tenga en cuenta también que el derivado $\operatorname {Si} '(0)=1$ no importa cómo definimos $f(0)$.
No podemos ser siempre la suerte de tener sólo extraíble discontinuidades. Un buen ejemplo es $g(x) =\cos(1/x)$ e $G(x) =\int_{0}^{x}\cos(1/t)\,dt$. No importa cómo definimos $g(0)$, $g$ tiene una discontinuidad esencial en $0$ y el Teorema Fundamental del Cálculo no puede ser utilizado directamente para calcular $G'(0)$. Pero el uso de algunos complicado argumentos que uno puede mostrar que $G'(0)=0$ y por lo tanto, si definimos $g(0)=0$ entonces $G$ es un anti-derivado de la $g$ sobre todo $\mathbb {R} $.
Así, la FTC puede ser utilizado directamente en el caso de la integral de un seno, incluso cuando $0$ es el límite inferior de la integral. Si usted observa cuidadosamente la prueba del Teorema Fundamental del Cálculo, usted encontrará que el resultado está demostrado es como sigue:
Real de la FTC: Vamos a $f:[a, b] \to\mathbb{R} $ ser Riemann integrable en $[a, b] $ y deje $F:[a, b] \to\mathbb {R} $ ser definido por $F(x) =\int_{a} ^{x} f(t) \, dt$. Deje $c\in[a, b] $ , a continuación, a la izquierda (a la derecha) de la mano de derivados de $F$ a $c$ equivale a la izquierda (derecha) de la mano de límite de $f$ a $c$ siempre que éste existe.
La FTC no ayuda si la izquierda (derecha) de la mano de límite de $f$ a $c$ no existe. También tenga en cuenta que el valor de $f(c) $ es irrelevante cuando se trata de encontrar derivado $F'(c) $ simplemente porque el valor de $f$ en un solo punto (o un número finito de puntos) no tiene impacto en la integral de la definición de $F$. Lo que realmente se necesita aquí es el de la izquierda (a la derecha) límite de $f$ a $c$.
No hay necesidad de invocar impropia de Riemann integrales en estos escenarios, porque la costumbre de Riemann integral maneja delimitadas las funciones en intervalos acotados. Impropias integrales son necesarios cuando el intervalo de integración es acotada o la función en sí es ilimitado.