No estoy del todo seguro de si esto es lo que tenía en mente, pero este es uno bastante estándar de la construcción de este tipo. No tengo idea sobre el nombre de esta construcción; yo diría que es "el semiring de isomorfismo clases de objetos de la distribución de la categoría de grafos finitos".
Uno puede definir la "adición" (o, mejor, subproducto) de los gráficos simplemente como una desconectado de la unión. Esta operación es bastante natural, sin embargo, y puede ser definido como el más general, sin embargo, no es demasiado grande gráfico que incluye tanto originales gráficos.
Del mismo modo, el producto de dos gráficos es el más general, sin embargo, no es demasiado grande gráfico en el que los proyectos en ambos originales gráficos, también conocido como producto tensor de gráficos (también es el producto cartesiano de los gráficos, que es diferente). El producto de $G_1=(V_1,E_1)$ e $G_2=(V_2,E_2)$ pasa a tener este aspecto: los vértices son los pares de vértices de $G_1$ e $G_2$ (es decir, el producto cartesiano $V_1\times V_2$), y los bordes son de $(x_1,x_2)-(y_1,y_2)$ si $x_1 - y_1$ es un borde de $G_1$ e $x_2-y_2$ es un borde de $G_2$.
Ahora, tomando el conjunto de todos (isomorfismo clases de finito) los gráficos, se podría definir operaciones de $+$ e $\times$ en este conjunto como se especifica anteriormente. Estos obedecen a una serie de propiedades útiles: ambas operaciones son asociativas, conmutativas, tiene un elemento neutro (vacío gráfico de $+$ y un singleton sin bordes para $\times$), y la ley distributiva se tiene:
- $A \times (B + C) = A \times B + A \times C$
La división puede ser más difícil en esta configuración, sin embargo, y creo que la mayoría de los gráficos son "los mejores", es decir, no se puede descomponer en un producto (no tome esto muy en serio, sin embargo, como esto es sólo una creencia), mientras que la descomposición en suma es, básicamente, una descomposición en componentes conectados.
La mayoría de los enlaces en los párrafos anteriores se refieren a algunos de la categoría general de la teoría abstracta de tonterías de una sólida razón: todo esto no tiene nada que ver con los gráficos. La misma construcción se puede realizar en cualquier categoría con todos los productos y co-productos (pero algunos aritmética de leyes como la distributividad puede fallar, pero no en la distribución de las categorías).
Por ejemplo, tomando la categoría de conjuntos finitos nos da números naturales con su habitual $+$ e $\times$.
Tomando la categoría de finito-dimensional espacios vectoriales sobre algún campo da algo ridículo: los objetos son todavía los números naturales, $+$ trabaja como de costumbre, sino $\times$ coincide con $+$, y no la distributividad aquí.
También tenga en cuenta que existen varios enteramente diferentes construcciones con nombres relacionados, a pesar de que no parecen relevantes a su pregunta.
