Consideramos que la normativa espacio vectorial $(M_n(\mathbb R), \|\cdot\|_F)$, es decir, real de las matrices con la norma de Frobenius. Deje $A \in M_n(\mathbb R)$ ser diagonalizable la matriz y tiene todos los autovalores para ser real. Deje $B_A(\varepsilon)$ denotar el abierto norma balón con el radio de $\varepsilon > 0$, es decir, \begin{align*} B_A(\varepsilon) =\{ E \in M_n(\mathbb R): \|A-E\|_F < \varepsilon\}. \end{align*} Sabemos que el complejo de valores propios de una verdadera matriz debe ser conjugado pares. Mi pregunta es: para cualquier combinación de real o complejo conjugado pares de autovalores, hay siempre una matriz de $E \in B_A(\varepsilon)$ tiene el espectro con el mismo número de la real y complejo conjugado de a pares. Para ser más claro, vamos a $n = 2k$ ser incluso, me gustaría saber si siempre hay matrices en la norma de la bola de esas que tienen autovalores con $1$ complejo conjugado par, $2$ pares, y así sucesivamente hasta que $k$ pares de conjugar los valores propios.
Respuesta
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user10354138
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Si los valores propios son distintos, entonces cerca de matrices también debe tener $n$ distintos real de los autovalores como se observa en la user8268 en los comentarios.
Por otro lado, si los autovalores de a$A$ no son distintos, entonces no puede ser un número complejo conjugado par de autovalores cerca de $A$. Por ejemplo, $$ \lVert I_{2\times 2}-R_\theta\rVert = \left\lVert\begin{pmatrix} 1-\cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & 1-\cos\theta \end{pmatrix}\right\rVert $$ que es $\approx C\lvert\theta\rvert$ para $\lvert\theta\rvert$pequeños. Así que usted puede permitirse el lujo de levantarse a $m$ complejo conjugado de pares, donde $m=\sum_\lambda\left\lfloor\frac12\operatorname{mult}_\lambda(A)\right\rfloor$ y no más.
