Peter Smith respuesta es correcta, pero parece que no entienden la lógica de lo suficientemente bien como para entenderlo. Por lo tanto, voy a explicar de una manera diferente:
Supongamos que usted cree que no hay tal cosa como el conteo de número de $1$ (ya sea como una forma concreta de codificación en algún medio físico, tales como un ordenador, o si como una noción abstracta), y que usted puede añadir repetidamente $1$ a sí mismo para obtener más números de contar, que se denota mediante "$+$" para la adición. Así por ejemplo, puedes obtener los números de contar $1$ e $1+1$ e $1+1+1$ y así sucesivamente. Supongamos que usted también considerar como el conteo de los números de las entidades a las que se puede obtener por este proceso. Esto significa que para que a alguien para convencerle de que tiene un conteo de número de $n$, se tiene que, literalmente, te mostrará que es de esa forma. Para su comodidad también se incluyen "$0$" como contar el número tal que $0+1 = 1$.
Suponiendo que esas creencias, se puede analizar lo que la inducción dice (cuando interpretarse como una afirmación acerca de números de contar). Dado cualquier propiedad $P$ de un recuento de la cantidad que se puede describir, la inducción afirma que si usted puede probar que $0$ satisface $P$, y se puede demostrar que ( para cualquier número a contar $n$ satisface $P$, también tiene que $n+1$ satisface $P$ ), a continuación, se puede concluir que cada número a contar satisface $P$.
¿Por qué debemos aceptar esto? Supongamos que no suponga la inducción. Entonces todo lo que usted puede probar es:
$
\def\nn{\mathbb{N}}
\def\imp{\Rightarrow}
$
$P(0)$.
$\forall n \in \nn\ ( P(n) \imp P(n+1) )$.
$P(0) \imp P(0+1)$. [$\forall$-elim]
$P(0+1)$. [$\imp$-elim]
$P(1)$.
$P(1) \imp P(1+1)$. [$\forall$-elim]
$P(1+1)$. [$\imp$-elim]
$P(1+1) \imp P(1+1+1)$. [$\forall$-elim]
$P(1+1+1)$. [$\imp$-elim]
...
Usted, evidentemente, puede ver que para cualquier expresión de $E$ que representa un número a contar, usted puede probar $P(E)$. Por lo que es seguro (según sus creencias) para concluir "$\forall n \in \nn\ ( P(n) )$", pero usted no puede llegar a esta conclusión sin la inducción! Tú mismo puedes comprobar que ninguna de las reglas en cualquier sistema deductivo permiso a "salir fuera", el sistema y observar lo que usted puede probar y luego "volver a entrar" con algunos externo conclusiones.
Que es lo que la inducción da; la capacidad de transferir un determinado tipo de meta-razonamiento lógico en el sistema. Que tipo? Exactamente por encima de la clase. Es por eso que tenemos un axioma de inducción para cada propiedad $P$. También, por las razones arriba mencionadas para que sea significativa, debemos ser capaces de escribir explícitamente abajo $P$. Para más detalles, vea este post.
Ahora que he explicado por qué la inducción realmente tiene sentido y no es un ad-hoc de la asunción, a tu pregunta de si es fundamental sigue siendo. En este nivel, basta decir que la inducción es fundamental y no puede ser no-circularmente justificado. Ver este post en el 'circularities" en matemáticas, el cual menciona la repetición como uno de los principales circularities'. La repetición puede decirse que es el núcleo de la noción de inducción. Si usted no entiende la repetición, no repetida explicación puede ayudar a comprenderlo. =)
Pero si quieres, no hay una concreta justificación de por qué la inducción no puede ser no-circularmente justificado. Los axiomas de la PA$^-$ están satisfechos, no sólo los números de contar, pero también la colección de $P$ que comprende el cero del polinomio plus entero polinomios cuyo mayor grado de un término que tiene coeficiente positivo. Puedes comprobar por ti mismo que $\nn$ satisface "cada elemento es par o impar", sino $P$ ¿ no. Específicamente:
"$\forall n \in \nn\ \exists k \in \nn\ ( n=k·2 \lor n=k·2+1 )$" es verdadera.
"$\forall n \in P\ \exists k \in P\ ( n=k·2 \lor n=k·2+1 )$" es falsa.
Además, y fundamentalmente, la PA puede comprobar esta afirmación (por $\nn$). Así tenemos un ejemplo claro de un hecho básico que no puede ser probado por el PA sin el uso de la inducción.
[Más avanzadas notas.]
Por supuesto, un seguimiento de la cuestión sería si sólo tenemos un número finito de inducción de los axiomas. En el caso de la PA, la respuesta es no, pero este hecho no puede ser explicado simplemente. La esencia de una explicación es para mostrar que la PA se puede demostrar la consistencia de cada fragmento finito de PA, y, por tanto, por el teorema de la incompletitud de Gödel no finito fragmento de PA es tan poderoso como el todo.
Usted puede formular preguntas similares acerca de cuáles son las principales suposiciones filosóficas que sustentan más fuertes y más fundamental de los sistemas. Para un breve esbozo de PA ACA, vea este post y el artículo enlazado por Peter Smith en los comentarios. Algunos lógicos que se sienta incómodo en algún lugar entre ACA y lleno de segundo orden aritmética Z2, debido a la aparente circularidad en impredicative definiciones de subconjuntos de a$\nn$. Pero incluso si uno se siente cómodo con la iteración powersets, hay aún más la suposición de que hay que tomar en fe (sin ningún no-justificación circular como el de hoy) antes de poder llegar a ZFC, tales como la sustitución completa. Alternativa fundacional sistemas tienen su propia cuota de (y potencialmente diferentes) suposiciones filosóficas.
