Prueba directa de que la matriz nilpotente tiene traza cero

Question

¿Alguien conoce una demostración desde los primeros principios de que una matriz nilpotente tiene traza cero? No hay valores propios, ni polinomios característicos, sólo definición y hechos básicos sobre bases y matrices.

Answer 1

Supongo que quieres la traza de una matriz $A\in M_n(F)$ que se defina como la suma de los elementos diagonales y que se tomen los coeficientes en un campo (conmutativo) $F$ . A continuación se presenta un enfoque que sólo utiliza datos básicos sobre bases y matrices.

1) Recuerdo el rastro es conmutativo $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ como lo demuestra el cálculos habituales . En particular, la traza es invariante bajo la similitud (cambio de base): $\mathrm{tr}(PAP^{-1})=\mathrm{tr} A$ por cada $P$ invertible en $M_n(F)$ .

2) Si $A$ es nilpotente con grado $k$ (es decir $A^k=0$ pero $A^{k-1}\neq 0$ ), tenemos la siguiente bandera $$\{0\}\subseteq \ker A\subseteq \ker A^2\subseteq \ldots\subseteq \ker A^k=F^n$$ donde las dimensiones son estrictamente crecientes. Partiendo de una base de $\ker A$ podemos completarlo en una base de $\ker A^2$ y así sucesivamente hasta obtener una base de $F^n$ . Si $P$ denota el correspondiente cambio de matriz base, entonces $PAP^{-1}$ es estrictamente triangular superior como $A(\ker A^j)\subseteq \ker A^{j-1}$ . En particular, la diagonal de $PAP^{-1}$ es cero, por lo que $\mathrm{tr}(PAP^{-1})=0$ .

Answer 2

Si estás trabajando sobre un campo característico $p$ se puede ver esto como una consecuencia de la identidad $Tr(X^p) = Tr(X)^p$ que tiene una breve demostración combinatoria mediante la expansión de $Tr(X)^p$ . Aunque esto no se aplica en general (es decir, la característica 0), creo que vale la pena mencionarlo.