Buena idea para encontrar debajo de la suma

Question

esta es la pregunta.

El propósito es encontrar la suma de$$f\left(\frac{1}{14}\right)+f\left(\frac{2}{14}\right)+f\left(\frac{3}{14}\right)+...+f\left(\frac{13}{14}\right)$$for function $$f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}$$Is there a nice method to find $ f \ left (\ frac {1} {14} \ right) + f \ left (\ frac {2 } {14} \ derecha) + f \ izquierda (\ frac {3} {14} \ derecha) + ... + f \ izquierda (\ frac {13} {14} \ derecha) $?

Answer 1

Sí, es bueno notar el valor de $$ \begin{align} f(x)+f(1-x) &=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{4}{4+2\cdot4^x}\\ &=\frac{4^x}{4^x+2}+\frac{2}{4^x+2}\\[3pt] &=\cdots\,? \end {align} $$

Answer 2

Como lo dijo @Nikunj, la función definida por $f(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$ tiene un centro de simetría en $(1/2, f(1/2))$. En particular, los derivados de:

$$\forall n \ \ f^{(n)}(0)=f^{(n)}(1) \ \ \ \ \ (1)$$

Vamos a aplicar la de Euler fórmula de Maclaurin, o más exactamente una de sus versiones, el cual se conecta una suma y un integrante de la siguiente manera:

$$\sum_{k=0}^m f(a+kh)=\frac{1}{h}\int_a^b f(x)dx+\frac{1}{2}(f(a)+f(b))+\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{h}{2}\right)^{2k-1}b_{2k}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)$$

donde segmento de la línea de $[a,b]$ ha sido dividido en $n$ partes de tamaño $h=\frac{b-a}{n}$, con un "universal" coeficientes de $b_k$ vinculado a los números de Bernoulli.

Se da, en nuestro caso, con $a=0$, $b=1$, $n=14$, $h=\frac{1}{14}$, mediante la relación (1):

$$\sum_{k=0}^{14} f\left(0+\frac{k}{14}\right)=14\int_0^1 f(x)dx+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)+0$$

La suma tenemos que calcular es el anterior sin el primero y el último término: $\frac{1}{3}$$\frac{2}{3}$. Por lo tanto:

$$\sum_{k=1}^{13}f\left(\frac{k}{14}\right)=14\int_0^1 f(x)dx-\frac{1}{2}=14 \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{13}{2}$$

cual es la respuesta numérica.

Explicación de la última desigualdad: la integral de $f$ es fácil de calcular, con valor de $\frac{1}{2}$, debido a un "buen" función primitiva $\dfrac{1}{\ln{4}}\ln(2+4^x)$.

Ver p. 806 del "Manual de Funciones Matemáticas", M. Abramowitz y I. Segun, Dover, 1972.

Véase también la fórmula (7) página 6 de http://www.hep.caltech.edu/~phys199/conferencias/lect5_6_ems.pdf

Observaciones acerca de la fórmula de Maclaurin:

a) Una manera más apropiada para escribir es con un finito suma y una resta en virtud de una forma integral.

b) Esta fórmula se extiende la regla trapezoidal de integración.

Edit: aquí es una representación gráfica de la función $f$: