¿Hay alguna otra función que satisfaga el sistema de ecuaciones que involucra la integración?

Question

Me he encontrado con este problema:

Deje $f(x)$ ser continuamente derivable (real) de la función en $[0,1]$ la satisfacción de estas ecuaciones: $$f(1)=0$$ $$\int_0^1 [f'(x)]^2 dx = 7$$ $$\int_0^1 x^2f(x) dx = \frac{1}{3}$$. Compute $\int_0^1f(x) dx$.

He logrado encontrar una $f(x) = \frac{7}{4}(1-x^4)$ en un par de ensayos. Sin embargo, no puedo encontrar ninguna otra solución (o al menos alguna de las otras primaria de la solución), lo que parece extraño para mí porque estas ecuaciones no son suficientes únicamente para definir una función. Por otra parte, asumir que hay otras soluciones, cómo puede ser que el problema esté tan seguro de que $\int_0^1f(x) dx$ son todos de la misma entre esas soluciones? Es allí cualquier manera clara y ordenada para resolver el problema sin encontrar una solución?

Dudo mucho que a estas dos preguntas. Creo que el problema está mal. Pero no estoy seguro, así que he puesto aquí para discutir.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted necesita más que un $f(x)$ ser diferenciable etc. Por ejemplo, se necesita ser polinómica o en forma de $e^{g(x)}$.

El problema es que usted puede crear cualquier tipo de función $f(x)=f(a,b,c,x)$ donde $a, b, c$ son parámetros y, a continuación, sus condiciones requeriría la solución de $a,b,c$.

Sacar de la nada $f(x)=ax^5+bx^2+c$, podría crear un necesario sistema. Puesto que hay más soluciones, la única manera de que este trabajo es demostrar que la última integral es por alguna razón única.

Para refutar que es suficiente encontrar dos ejemplos que dan diferentes integral y estoy seguro de que usted va a encontrar tan pronto como usted comience a buscar en todas las formas posibles la función puede tener.