Supongamos que tenemos una estructura $M$, es decir, un conjunto de $S$ con algunas funciones designadas o las relaciones que establece. Podemos definir automorphisms de esta estructura. ¿Cuál es el término en la literatura lógica estándar para funciones, constantes o relaciones que son invariantes con respecto a esta estructura bajo todos automorphisms de esta estructura?
Respuestas
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Editado después de la observación de Levon Haykazyan a quien doy las gracias.
Suponga $M$ $\omega$- homogénea, de lo contrario no es poco lo que puedo decir. Deje $\equiv_n$ ser la relación de primaria equivalencia $n$-tuplas de $M$. Contables homogeneidad dice que las órbitas en virtud de automorfismos de a $n$-tuplas son las clases de equivalencia de a $\equiv_n$. Invariantes conjuntos son exactamente de la unión de las órbitas de las tuplas, por lo tanto la unión de clases de equivalencia de a $\equiv_n$.
La situación es muy simple cuando se $M$ es un modelo contable de una $\omega$categoría de teoría. Luego, por la Engler, Ryll-Nardzewski, Svenonius teorema $\equiv_n$ tiene un número finito de clases de equivalencia. De ello se desprende que invariante = tipo-definible = definibles.
En general la relación de equivalencia $\equiv_n$ $2^{|L|}$ muchas clases. De ahí que en la mayoría de las $2^{2^{|L|}}$ conjuntos invariantes (el obligado puede ser alcanzado). Esto es mucho, hay que considerar que existen en la mayoría de las $|L|$ definibles conjuntos y en la mayoría de las $2^{|L|}$ tipo definidos por conjuntos. Así, la situación es complicada.
Incluso si se asume que el $M$ saturada invariante conjuntos puede ser aún más difícil de describir. Sólo es posible decir algo acerca de conjuntos invariantes que son compactos en la topología en $M^n$ generado por los conjuntos definibles. A continuación un par de ejemplos.
Si $D\subseteq M$ es definible sobre algunos juegos y es invariante, entonces $D$ es definible sobre el conjunto vacío. Lo mismo ocurre con el tipo-definibles para definibles (si el tipo ha $<|M|$ parámetros). También es cierto que si $D\subseteq M$ es invariante y $\langle M,D\rangle$ está saturado, entonces $D$ es definible. Donde $\langle M,D\rangle$ la expansión de $M$ con un predicado para $D$.
user2318170
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Primo de Petri ha escrito una agradable e informativa de respuesta. Tan solo me gustaría agregar que es una respuesta directa a su pregunta "¿Cuál es el plazo en el estándar de la lógica de la literatura de funciones, constantes, o relaciones que son invariantes con respecto a esta estructura, en virtud de todos los automorfismos de esta estructura?" Estos son por lo general, se llama simplemente "automorphism invariante".
En el modelo de la teoría, el término "invariantes" se utiliza normalmente para "automorphism invariante", pero en el contexto de una gran estructura saturada (o "monstruo modelo") $\mathbb{M}$. La saturación implica que para cualquier conjunto pequeño $A$, hay un automorphism mover la tupla $\overline{a}$ a la tupla $\overline{b}$ y la fijación de $A$ pointwise si y sólo si $\text{tp}(\overline{a}/A) = \text{tp}(\overline{b}/A)$. Por lo tanto, una relación $R$ $\mathbb{M}$ $A$- invariante (estable en todos los automorfismos de fijación $A$ pointwise, por lo que "invariantes" = "$\emptyset$-invariante") si y sólo si el valor de verdad de $R(\overline{a})$ sólo depende de $\text{tp}(\overline{a}/A)$. Y de forma análoga declaraciones tienen acerca de funciones invariantes, constantes, y aún más general de las cosas. Fácilmente googlable instancias de esta terminología son "invariante de la relación de equivalencia", "invariantes" tipo de", y "invariantes Keisler medida".
Edit: Uno de los más comentario que usted podría estar interesado en. Si su estructura $M$ es contable, entonces, una consecuencia de la Scott teorema de isomorfismo es que una relación en $M$ es isomorfismo invariante si y sólo si es definible en el infinitary lógica de $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$.
