Cómo hacer una topología de$N$ que involucre conjuntos convergentes / divergentes.

Question

Deje $N$ ser los naturales $1, 2, \dots$ Llamar a un subconjunto $A$ $N$ convergente si el recíproco de la suma de la $\sum_{a \in A} \frac{1}{a}$ converge. Del mismo modo llame como conjunto divergentes si la suma diverge. Observe que, en este contexto, ya que no sólo implica a los números positivos, una serie es convergente o divergente.

Definir una topología en $N$ mediante la definición de los conjuntos cerrados para ser convergente conjuntos. Claramente arbitraria intersecciones son convergentes así. Deje $A, B$ dos convergente establece, a continuación, $A \cup B$ es también un conjunto convergente. ¿Significa esto que el abrir los conjuntos son precisamente los divergentes?

Answer 1

Considere la posibilidad de $A = \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$$B = \{ 2n-1 : n \in \mathbb{N} \}$. Tenga en cuenta que $B = \mathbb{N} \setminus A$, y tanto $\sum_{a \in A} \frac{1}{a}$ $\sum_{b \in B} \frac{1}{b}$ divergen. Por lo tanto, no $A$ ni $B$ son convergentes conjuntos, y por tanto, por definición de la topología no están cerrados. Como un conjunto es abierto si su complemento es cerrado, se sigue que sus complementos, $B$$A$, respectivamente, no están abiertos. (Así que tenemos dos divergentes de los conjuntos que no son abiertos.)

Por otro lado cada conjunto abierto (a excepción de $\emptyset$) debe ser divergentes, simplemente porque si $B \subseteq \mathbb{N}$ fueron un abierto no vacío convergente, entonces $\mathbb{N} \setminus B$ es un conjunto cerrado distinta de la de $\mathbb{N}$, y así debe ser convergente, y por lo $\mathbb{N}$ es la unión de dos convergente conjuntos, lo que se contradice con que $\mathbb{N}$ no es convergente.