Cómo probar esta pregunta sobre derivada y diferenciación.

Question

Deje que $$ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $$ de modo que exista$f ',f'',f'''$ y exista$\lim_{x\to+\infty} f(x)=t$ si$ \lim_{x\to+\infty} f'''(x)=0$.

Entonces prueba que
$$ \ lim_ {x \ to + \ infty} f '(x) = \ lim_ {x \ to + \ infty} f' '(x) = 0. $$ gracias de antemano

Answer 1

Esta solución está inspirada en el intento de Aaron Sun y en el uso de las mismas hipótesis: deje que$r>0$ se arregle. Por la fórmula de Taylor tenemos, para todos$x$:$$f(x+r)=f(x)+f^\prime(x)r+f^{\prime\prime}(x)\,\frac{r^2}2+f^{\prime\prime\prime}(\xi)\frac{r^3}6\,,$ $ donde$\xi=\xi(x,r)$ se encuentra entre$x$ y$x+r$. Cuando$x\to\infty$, sucede lo mismo con$x+r$ y$\xi$. Tomando este límite en la igualdad anterior y simplificando obtenemos$$\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+rf^{\prime\prime}(x)=0$$ (recall that $ r$ is fixed). Now we take two different values of $ r$, say $ r = 1,2$, from which we obtain $$\lim_{x\to\infty}f^{\prime\prime}(x)=\bigl(\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+2f^{\prime\prime}(x)\bigl)-\bigl(\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+f^{\prime\prime}(x)\bigl)=0-0=0\,,$ $ from lo que fácilmente llegamos a la conclusión de que$\lim_{x\to\infty}f^\prime(x)=0$ también.

Answer 2

Supongo que te refieres a que "$\lim_{x\to+\infty} f(x)=t$ existe y $ \lim_{x\to+\infty} f'''(x)=0$".

Usando el teorema de Taylor, podemos expresar$f(x)$ así:$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(\xi)}{6}(x-a)^3,$$ which $ a$ is a real constant, and $ \ xi$ is between $ x$ and $ a $.

Sea$x=a+1$, obtenemos$$f(a+1)=f(a)+f'(a)+\frac{f''(a)}{2}+\frac{f'''(\xi)}{6},$$which $ a <\ xi <a + 1$.Then,let $ a \ to + \ infty$,we obtain $ t = t + \ lim_ {x \ a + \ infty} [f '(x) + f' '(x) / 2]$,i.e.,$$\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]=0.$ $

Luego, de manera similar, vamos a$x=a-1$ y$a\to+\infty$, obtenemos$$\lim_{x\to+\infty}[-2f'(x)+f''(x)]=0.$ $

Entonces,$$\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]+\lim_{x\to+\infty}[-2f'(x)+f''(x)]=2\lim_{x\to+\infty}f''(x)=0,$$and$$\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]-\lim_{x\to+\infty}f''(x)=2\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0.$ $