Deje que f: mathbbR to mathbbR de modo que existaf′,f″ y exista\lim_{x\to+\infty} f(x)=t si \lim_{x\to+\infty} f'''(x)=0.
Entonces prueba que
\ lim_ {x \ to + \ infty} f '(x) = \ lim_ {x \ to + \ infty} f' '(x) = 0. gracias de antemano
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
z_dood
Puntos
1
Esta solución está inspirada en el intento de Aaron Sun y en el uso de las mismas hipótesis: deje quer>0 se arregle. Por la fórmula de Taylor tenemos, para todosx:f(x+r)=f(x)+f^\prime(x)r+f^{\prime\prime}(x)\,\frac{r^2}2+f^{\prime\prime\prime}(\xi)\frac{r^3}6\,,$ $ donde$\xi=\xi(x,r)$ se encuentra entre$x$ y$x+r$. Cuando$x\to\infty$, sucede lo mismo con$x+r$ y$\xi$. Tomando este límite en la igualdad anterior y simplificando obtenemos\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+rf^{\prime\prime}(x)=0 (recall that $ r$ is fixed). Now we take two different values of $ r$, say $ r = 1,2$, from which we obtain \lim_{x\to\infty}f^{\prime\prime}(x)=\bigl(\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+2f^{\prime\prime}(x)\bigl)-\bigl(\lim_{x\to\infty}2f^\prime(x)+f^{\prime\prime}(x)\bigl)=0-0=0\,, from lo que fácilmente llegamos a la conclusión de que\lim_{x\to\infty}f^\prime(x)=0 también.
AaronS
Puntos
480
Supongo que te refieres a que "\lim_{x\to+\infty} f(x)=t existe y \lim_{x\to+\infty} f'''(x)=0".
Usando el teorema de Taylor, podemos expresarf(x) así:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(\xi)}{6}(x-a)^3, which a is a real constant, and \ xi is between x and a .
Seax=a+1, obtenemosf(a+1)=f(a)+f'(a)+\frac{f''(a)}{2}+\frac{f'''(\xi)}{6},which a <\ xi <a + 1.Then,let a \ to + \ infty,we obtain t = t + \ lim_ {x \ a + \ infty} [f '(x) + f' '(x) / 2],i.e.,$$\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]=0.
Luego, de manera similar, vamos ax=a-1 ya\to+\infty, obtenemos$$\lim_{x\to+\infty}[-2f'(x)+f''(x)]=0.
Entonces,\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]+\lim_{x\to+\infty}[-2f'(x)+f''(x)]=2\lim_{x\to+\infty}f''(x)=0,and$$\lim_{x\to+\infty}[2f'(x)+f''(x)]-\lim_{x\to+\infty}f''(x)=2\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0.
