Determinando el polinomio mínimo de$B:=A²+A$

Question

Sea$A$$\in$$\mathbb{C}$ una solución de $$g:=A^3+2A-1=0$ $ Quiero determinar el polinomio mínimo en$\mathbb{Q}$$ A$% y$B$, si$$B:=A^2+A$ $Tenemos una pista de que el teorema de Cayley-Hamilton ayudaría aquí, pero no sé cómo usarlo en este contexto. Supongo que$g$ya es el polinomio mínimo de$A$, porque está normalizado, irreducible y, por supuesto,$g(A)=0$. Pero no sé a dónde ir desde allí. Me alegraría cualquier tipo de ayuda. Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA: Expresar poderes de $B$ en términos de $A$, y reducir con el hecho de que $A^3+2A-1=0$. Se puede encontrar una relación entre los poderes de la $B$?

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EDIT: El hecho de que $A^3+2A-1=0$ le dice que $A^3=1-2A$, por lo que $$\begin{eqnarray*} B^2&=&(A^2+A)^2=A^4+2A^3+A^2=A^3(A+2)+A^2\\ &=&(1-2A)(A+2)+A^2=-A^2-3A+2. \end{eqnarray*}$$ De la misma manera en la que puede expresar $B^3$ en términos de $A$, y reducir a conseguir algo de segundo grado en $A$. Entonces usted tiene expresiones para $B^0$, $B^1$, $B^2$ y $B^3$ en términos de $A^0$, $A^1$ y $A^2$, por lo que estos poderes de $B$ son linealmente dependientes, lo que significa que $B$ es una raíz de un trivial cúbicos.

Answer 2

Estás buscando el mínimo polinomio sobre $\def\Q{\Bbb Q}\Q$ $a+a^2$ donde $a$ es la imagen de $X$ en el campo de $F=\Q[X]/(X^3+2X-1)$. El polinomio mínimo de una expresión algebraica elemento es el mismo que te polinomio mínimo de la $\Q$-operador lineal definido por la multiplicación por ese elemento. De aquí que es el operador lineal en $F$ cuya matriz con respecto a la base obvia $[1,a,a^2]$, es $$M=\pmatrix{0&1&1\\1&-2&-1\\1&1&-2}$$ (las columnas respectivamente express $a+a^2$, $a^2+a^3$ y $a^3+a^4$ sobre la base $[1,a,a^2]$, usando la relación $a^3=1-2a$). El polinomio mínimo no puede ser de grado$~2$ porque $F$ no tiene subcampos de grado$~2$, por lo que el polinomio mínimo debe ser el polinomio característico de a$~M$,$X^3+4X^2+3X-4$.

(Usted también puede encontrar este polinomio tratando de encontrar una relación lineal entre el $v,Mv,M^2v,M^3v$ para algunos vectores$~v$, por ejemplo para $v=[1,0,0]$, por lo que los otros tres vectores son $[0,1,1]$, $[2,-3,-1]$, y $[-4,9,1]$. Los coeficientes de dicha relación se $-4,3,4,1$, lo que da otra vez el polinomio $-4+3X+4X^2+X^3$. Este enfoque cantidades directamente de encontrar una relación entre el $1,b,b^2,b^3$.)