Estoy tratando de demostrar una propiedad de los productos internos. La propiedad es: $$\langle x,y\rangle=\langle x,z\rangle \forall x \in V\Rightarrow y=z$$
Mi prueba:
Dejemos que $y=z+w$ entonces $$\langle x,z+w\rangle = \langle x,z\rangle $$ $$\Rightarrow \langle x,z\rangle + \langle x,w\rangle =\langle x,z\rangle $$ $$\Rightarrow \langle x,w\rangle =0$$ Por lo tanto, $w=0$ así que $y=z$ .
Mi pregunta es si podemos establecer $y=z+w$ es decir, ¿es esto cierto para todos $y,z \in V$ ?
Sí, puede establecer $y=z+w$ porque $V$ es un espacio lineal. En $\langle x,w\rangle =0,\,\forall x\in V$ se deduce que puede tomar $x=w$ y así $\|w\|^2=0\Rightarrow w=0$
Un enfoque más directo es simplemente escribir $\langle x,y\rangle =\langle x,z\rangle\Leftrightarrow \langle x,y-z\rangle =0,\,\forall x\in V$ para que puedas tomar $x=y-z$ y obtener $\|y-z\|^2=0\Rightarrow y=z$
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Sí: sólo hay que tomar $w=y=z$
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Qué $x$ y $y$ ¿de qué estás hablando?
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Si $x$ y $y$ son funciones integrables de $\mathbb R$ a $\mathbb R$ y $<x,y>=\int x(t)y(t)dt$ ¿haría alguna diferencia para usted si $(x(0):=a$ podría asignarse arbitrariamente, pero sin hacer ninguna diferencia en la Integral?