¿Puedo cambiar la orientación en un punto de un colector no orientable?

Question

Dejemos que $p \in M$ sea un punto de una variedad lisa no orientable, $M$ . ¿Existe un difeomorfismo $f: M \rightarrow M$ con $p \mapsto p$ y tal que $df : T_pM \rightarrow T_pM$ ¿se invierte la orientación? Mi sensación es que sí. Estaba pensando en tratar de tomar una incrustación $\gamma : S^1 \rightarrow M, \star \mapsto p$ de manera que la traducción paralela en torno a $\gamma$ invierte la orientación, entonces empujando hacia adelante el campo vectorial $d/d\theta$ y ampliándola. Entonces, tomando el flujo en el tiempo $2\pi$ . Sin embargo no estaba seguro de la existencia de tal $\gamma$ y todo el planteamiento parece un poco artificioso. ¿Es cierto y si es así hay una manera más fácil? Gracias por su tiempo.

P.D. Esto está motivado por la cuestión de la buena definición de la suma de conexiones para las variedades no orientables.

Answer 1

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa no orientable. La no orientabilidad significa que hay dos conjuntos abiertos $U,V\subset M$ difeomorfo a $\mathbb R^n$ , orientaciones $\zeta$ en $U$ , $\xi$ en $V$ y dos puntos $p,q\in U\cap V$ tal que $\zeta_p\ne\xi_p$ y $\zeta_q=\xi_q$ . Ahora elija un nghd compacto conectado $K\subset U$ de la pareja $p,q$ y una difeotopía $f_t:M\to M$ que es la identidad de $K$ y se mueve $p$ a $q$ : $f_1(p)=q$ . Desde $f_t|U$ es una difeotopía de $U$ y las difeotopías conservan las orientaciones, tenemos $f_{1,*}(\zeta_p)=\zeta_q$ . Del mismo modo, elija un nghd compacto conectado $L\subset V$ de $p,q$ y una difeotopía $g_t:M\to M$ la identidad de $L$ con $g_1(q)=p$ , para tener $g_{1,*}(\xi_q)=\xi_p$ . A continuación, el diferencial $h=g_1\circ f_1$ hace el trabajo: $$ h_*(\zeta_p)=g_{1,*}(f_{1,*}(\zeta_p))=g_{1,*}(\zeta_q)=g_{1,*}(\xi_q)=\xi_p\ne\zeta_p. $$ Para un giro en cualquier otro punto $x\in M$ , tomar una dife $\varphi:M\to M$ con $\varphi(x)=p$ y $\ \varphi^{-1}\!\circ h\circ\varphi$ invierte la orientación en $x$ .