Los Espacios de Banach - ¿Cómo se puede $B,B',B"," B", B""B""',\ldots$ comportarse?

Question

(ZFC)


Deje que $ \big\langle B,+,\cdot, \:\: \|\cdot\| \:\: \big\rangle $ ser un espacio de Banach.

Definir $ \mathbf{B} \; = \;\big\langle B,+,\cdot, \:\: \|\cdot\| \:\: \big\rangle $.

Definir $\: \mathbf{B}_0 = \mathbf{B} \:$. Para todos los enteros no negativos $n$,
definir $\mathbf{B}_{n+1}$ a ser el espacio de Banach que es el doble continua de $\mathbf{B}_n$.

Definir la relación $\:\sim\:$$\: \{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\:$ por
$m\sim n \:$ si y sólo si $\: \mathbf{B}_m$ es isométricamente isomorfo a $\mathbf{B}_n$.

$\sim\:$ es, obviamente, una relación de equivalencia.

¿Qué puede hacer el cociente de $\:\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\:$$\: \sim\:$?

La única cosa que yo sé acerca de esto es que $\:\{\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}\}\:$
y $\:\{\{0,2,4,6,8,\ldots\},\{1,3,5,7,9,\ldots\}\}\:$ son posibles.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, sino más bien un intento de llamar la atención a los relevantes subproblemas.

En su comentario de @AlexanderThumm hizo la siguiente observación: si $m>n$ y $m\sim$ n $n+k(m-n)\sim$ n para todos no negativo de $k$. Esto se deduce de la observación de que, si $X$ y $Y$ son isométrica de los espacios de Banach entonces $X$ y $N$.

Se trata de una simple inferencia a partir de esto que $\mathbf{B}_m \no\cong \mathbf{B}_n$ siempre $m\neq$ n, o no son enteros $N$ y $n\leq N$ tal que $\mathbf{B}_i$ son pares nonisometric por $1\leq i\leq N$ y $\mathbf{B}_{N+1}\cong\mathbf{B}_{n}$, $\mathbf{B}_{N+2}\cong\mathbf{B}_{n+1}$, y así sucesivamente.

Queda por mostrar que cada una de estas situaciones es posible, o a la regla de que a algunos de ellos.

El primer caso (todo $\mathbf{B}_n$ distinta) puede suceder, teniendo en cuenta la secuencia de $c_0, \ell^1, \ell^\infty,\ldots$. (Es bien sabido que ninguno de estos espacios es el reflexivo, pero necesitamos una mejor argumento para descartar la existencia de cualquier tipo de isomorfismo isométrico.) Para cualquier conjunto infinito de $S$ considerar el espacio $\ell^\infty(S)$ fijas funciones en $S$, con el uniforme de la norma. Este espacio tiene cardinalidad de $2^{|C|}$. Al parecer es conocido sin embargo (como se cita aquí) que $\ell^\infty(S)"$ es isomorfo a $\ell^\infty(2^{2^S})$, entonces $\ell^\infty(S)"$ no es isomorfo a $\ell^\infty(S)$ desde $2^{2^{2^{|S|}}}>2^{|C|}$. El mismo argumento muestra que el monto de $2k$th dual de $\ell^\infty(S)$ no es isomorfo a $\ell^\infty(S) de dólares. Se sigue de esto que no hay dos de la secuencia de $c_0,\ell^1,\ell^\infty(\mathbf{N}),\ldots$ son isomorfos: si $\mathbf{B}_m\sim\mathbf{B}_n$, digamos, entonces $\mathbf{B}_{2m}\sim\mathbf{B}_{2n}$, por lo que tenemos una contradicción.

No tengo nada para contribuir a otros problemas, aparte de resaltar algunos de los interesantes primeros casos:

1. Existe un espacio de Banach $X$ tales que $X\cong X"'$ pero $X\no\cong X"$?

2. Hace $X'\cong X"'$ implica $X\cong X"$?