Para $p=257$, el anillo de $\mathbb{Z}[\alpha]/(\alpha^p-\alpha-1)$ no es integralmente cerrado. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de este anillo.
Hacer el cambio de variable $\alpha = \beta+55$. Entonces, el polinomio mínimo de a $\beta$ se parece a $\beta^{257} + \cdots + a \beta^2+b \beta + c$ donde $c$ es divisible por $59$ dos veces, $b$ es divisible por $59$ una vez $a$ no es divisible por $59$. Por lo que el $59$-ádico polígono de Newton para este polinomio se termina en un segmento de longitud $2$ y la pendiente $1$. Más precisamente, $a \equiv 27 \bmod 59$, $b \equiv 13 \cdot 59 \bmod 59^2$ y $c \equiv -1 \cdot 59^2 \bmod 59^3$ $27 x^2 +13 x -1$ factores $27(x-36)(x-40) \bmod 59$. Así que hay un lugar $\mathfrak{p}$ $K$ está por encima $59$ donde $\alpha \equiv 55+36 \cdot 59 \mod \mathfrak{p}^2$ y otro lugar $\mathfrak{q}$ donde $\alpha \equiv 55+40 \cdot 59 \bmod \mathfrak{q}^2$.
En este punto, sabemos que el anillo no es integralmente cerrado: $59^2$ divide el discriminante de $x^{257}-x-1$, pero no hay ramificado lugares de $K$ sobre $59$. (Los otros factores de $x^{257}-x-1$ modulo $59$ son todos squarefree, ya que el discriminante es solo divisible por $59$ dos veces). En realidad la construcción de uno de los desaparecidos de los elementos que forman parte aún sería un poco de dolor.
