Wikipedia presenta la composición como caso especial de los retrocesos pero no puedo reconciliar esa interpretación con la definición de retroceso que conozco.
En su forma más general, la composición se refiere a tres morfismos y tres objetos, mientras que la definición que conozco de "pullback" se establece en términos de cuatro objetos y cuatro morfismos, aunque, si afirmamos que la composición es un caso especial de pullback, entonces algunos de los morfismos en este "caso especial de pullback" podrían ser identidades (por lo que sus dominios y codominios serían iguales).
Siguiendo con esta idea,
Por supuesto, si tengo morfismos $f:X \to Y$ , $g:Y \to Z$ y $h:X \to Z$ de tal manera que $f\;;g = h$ donde estoy usando $f\;;g\;$ "como otra forma de escribir" $g \circ f\;$ "), entonces el siguiente diagrama cuadrado conmuta:
$$ \begin {array}{cccc} &X & \stackrel {f}{ \to } & Y \\ { \small 1_X}\!\!\!\!\!\!\!\!\!& \downarrow & & \downarrow { \small g} \\ &X & \stackrel {h}{ \to } & Z \end {array} $$
Por lo tanto, cumple la primera condición para ser la retirada de $h$ y $g$ pero me parece que no cumple la segunda condición (universalidad). Doy mi prueba de esto abajo, FWIW, pero mi pregunta es:
¿Hay alguna otra forma de expresar la composición como un retroceso? Alternativamente, ¿hay alguna suposición no declarada en la descripción de Wikipedia?
Para probar que el diagrama anterior, en general, no tiene la propiedad de universalidad de un retroceso, aquí hay un contraejemplo en Set . Usando el diagrama de arriba, dejemos $X = Y = \mathbf {2}$ , $Z = \mathbf {1}$ , $f = 1_{ \mathbf {2}}$ y $h = g = \;\;!$ el morfismo único $ \mathbf {2} \to \mathbf {1}$ . Supongamos, entonces, que esto es un cuadrado de retroceso:
$$ \begin {array}{cccc} & \mathbf {2} & \stackrel {1_{ \mathbf {2}}}{ \to } & \mathbf {2} \\ { \small 1_{ \mathbf {2}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!& \downarrow & & \downarrow { \small !} \\ & \mathbf {2} & \stackrel {!}{ \to } & \mathbf {1} \end {array} $$
Ahora, el ajuste $W = \mathbf {2}$ , $p:W \to X$ y $q:W \to Y$ respectivamente igual a $1_{ \mathbf {2}}$ y $ \sigma \neq 1_{ \mathbf {2}}$ (por ejemplo $ \sigma $ podría ser la permutación de impar en $ \mathbf {2}$ ), tenemos $1_{ \mathbf {2}};! = p;h = q;g = \sigma ;!$ . Por lo tanto, por la propiedad de universalidad de los retrocesos, debe existir un morfismo único $u: \mathbf {2} \to \mathbf {2}$ de tal manera que $u;1_X = u;1_{ \mathbf {2}} = 1_{ \mathbf {2}} = p$ y $u;f = u;1_{ \mathbf {2}} = \sigma = q$ . Pero si tal $u$ existía, habríamos $1_{ \mathbf {2}} = \sigma $ que es una contradicción.
Editar: a modo de aclaración, quiero señalar que el retroceso correcto (según entiendo el concepto) para el par de morfismos $(!, !)$ que se muestra en el contraejemplo anterior es el producto $ \mathbf {2} \times\mathbf {2}$ junto con las proyecciones estándar $ \pi_0 , \pi_1 : \mathbf {2} \times\mathbf {2} \twoheadrightarrow\mathbf {2}$ . De hecho, al menos en Set el retroceso de dos morfismos $A \twoheadrightarrow\mathbf {1}$ y $B \twoheadrightarrow\mathbf {1}$ es el único momento en que el retroceso ocupa todo el $A \times B$ en cuyo caso, la propiedad de universalidad del retroceso coincide con la propiedad de universalidad de los productos.
Una aclaración más, el punto de mi contraejemplo es mostrar que la forma ingenua de obtener un diagrama de retroceso de un diagrama de composición que mostré al principio de este post (a saber, añadiendo un borde de identidad al diagrama de composición) no puede ser correcta, por lo que la descripción de Wikipedia debe referirse a otra cosa. El objetivo de mi pregunta es determinar qué es este "algo más".
Por último, este otros manera de obtener un diagrama de retroceso de una composición
$$ \begin {array}{cccc} &X & \stackrel {f}{ \to } & Y \\ { \small h}\!\!\!\!\!\!\!\!\!& \downarrow & & \downarrow { \small g} \\ &Z & \stackrel {1_Z}{ \to } & Z \end {array} $$
también está mal: ya que $1_Z$ es monótona, el diagrama puede ser un cuadrado de retroceso sólo si $f$ también es monótona, lo que ciertamente no se sostiene en general para una composición $f\;;g = h$ .
