Tareas:

Question

Deje que$G$ sea un grupo finito y$H,K$ sean subgrupos normales de$G$, de modo que$G=HK$ y$H\cap K=1$ ($1$ sea un elemento de identidad).

Muestre que$(|H|,|K|)=1$ si y solo si para todos los subgrupos$A$ de$G$ tenemos$A=(A\cap H)(A\cap K)$.

PD. Tuve que intentar

$$|A|=|(A\cap H)(A\cap K)|=\frac{|A\cap H||A\cap K|}{|A\cap H\cap A \cap K|}=\frac{|A||H|}{|AH|}\cdot \frac{|A||K|}{|AK|}$ $ así que$$|A||H||K|=|AH|.|AK|=|AHAK|.|AH\cap AK|=|H||K||AH \cap AK|$ $ implica$|A|=|AH\cap AK|$.

Answer 1

Primero de todo, desde $H,K$ son normales, $H\cap K=1$$G=HK$, el grupo de $G$ es de hecho un producto directo de $G=H \times K$.

Ahora, para demostrar la primera dirección supongamos que para todo $A \leq G$, $A=(A\cap H)(A\cap K)$, y supongamos por contradicción que $(|H|,|K|)\neq 1$. Denotar $|H|=n$, $|K|=m$. Es decir, $\exists p \in \mathbb Z$ (un primo) tal que $p | n$$p | m$. Por lo tanto, $\exists x \in K$ $\exists y \in K$ tal que $x^p=y^p=1$. El subgrupo $A$ generado por $(x,y)$ es un subgrupo cíclico de orden $p$ que no puede ser escrito (no trivial) como $(A\cap H)(A \cap K)$.

Para la segunda dirección se deje $A\leq G$ ser arbitraria de los subgrupos. Claramente $(A\cap H)(A \cap K) \subseteq A$, por lo que es suficiente para mostrar que todos los $a\in A$ puede ser escrito como $(x,y)$$x\in A \cap H, y\in A \cap K$. Desde $(n,m)=1$, $\exists \alpha , \beta \in \mathbb Z$ tal que $\alpha n + \beta m =1$. Cada $a\in A$ tiene una única presentación como $(x,y)$$x\in H, y\in K$. Ahora, tenga en cuenta que $$a^{\alpha n}=(x^{\alpha n}, y^{\alpha n})=(1,y^{1-\beta m})=(1,y).$$ Applying the same idea to $a^{\beta m}$, we get the desired presentation: $a=(a^{\beta m},^{\alpha n})$.