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Question

Encuentra$$\lim_{n\to\infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n}.$ $

No se como empezar También se agradecen las sugerencias.

Answer 1

$$ f_n = \ frac {e ^ {(1 / n) \ log n!}} {n} $$ y el uso de la aproximación de Stirling$\log n!\sim n\log n -n$ para concluir$f_n\sim \frac{e^{\log n-1}}{n}\to 1/e$.

Answer 2

Si conoces a Stirling

PS

Usted obtiene

PS

Ahora en$$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n$ uno tiene$$u_n\sim \left(\sqrt{2\pi n}\right)^{1\over n}\cdot {1\over e}$ y$+\infty$ (mira el logaritmo) y así

PS

Answer 3

deje que$$y= \frac{(n!)^{1/n}}{n}.$ $$$\implies y=(\frac{n(n-1)(n-2)....3.2.1}{n.n.n....nnn})^\frac{1}{n} $ $ Tenga en cuenta que podemos distribuir la n en el denominador y otorgar 1 n a cada término$$\implies \log y= \frac {1}{n}(log\frac{1}{n}+log\frac{2}{n}+...+log\frac{n}{n})$ $ aplicando$\lim_{n\to\infty}$ en ambos lados, encontramos que RHS es de la forma

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{r=n}f(\frac{r}{n})$ $ que puede ser evaluado por integración$$=\int_0^1log(x)dx$ $ =$$xlogx-x$ $ conectando los límites (cuidadosamente aquí) obtenemos -1.

PS

Answer 4

Deje$f_n=\frac{n!}{n^n}$ para que$f_{n+1}= \frac{(n+1)!}{(n+!)^n+1}$

Asi que $\frac{f_{n+1}}{f_n}=(1+\frac{1}{n})^{-n}$

Por lo tanto

$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{-n}=\frac{1}{e}>0 $

Sabemos que si$<f_n>$ es una secuencia tal que$f_n$ es mayor que 0 para todo n, y$\lim_{n\to\infty}\frac{f_{n+1}}{f_n}=l, l>0$. Entonces $\lim_{n\to\infty}{f_n}^{\frac{1}{n}}=l$.

Usando el teorema anterior tenemos$\lim_{n\to\infty} \frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}=\frac{1}{e}$