Encuentre soluciones integrales para$2x^2+y^2=2\times(1007)^2+1$

Question

Encuentra soluciones integrales a la ecuación.
PS

Lo intenté:
Reescribí la ecuación como$$2x^2+y^2=2\times(1007)^2+1$. Encontré que$2x^2+y^2=2028099$ y$y_{max}=1424$ deben ser impares, por lo que establecí$y$, donde$y=1424-(2k+1)$. Sin embargo no sé cómo seguir adelante.
¡Por favor ayuda!
¡Gracias!

Answer 1

Al observar la ecuación, el módulo 2 muestra que$y$ es impar. Luego, al mirarlo, el módulo 4 muestra que$x$ también es impar. (El cuadrado de un número impar es siempre$1\bmod4$.)

Una búsqueda de fuerza bruta muestra que las soluciones$(x,y)$ son (335,1343), (593,1151), (965,407) y (1007,1). No logro ver suficiente estructura en la respuesta para poder explicarlo.