Integración de multiplicación de funciones donde el primero tiene un exponente alta

Question

Tomemos esto como un ejemplo.

$$\int (x^{15}\ln x)dx $$

¿Hay una manera de solucionarlo alguna manera inteligente? Usando integración por partes 15 veces sería tedioso...

Answer 1

Sugerencia: $$\int x^{15}\ln x dx=\frac1{16}\int(x^{16})^{\prime}\ln x dx$ $ entonces sólo necesitas $1$ integración por las piezas.

Answer 2

Puede utilizar integración por las piezas y obtener una fórmula para el caso general.

Tenga en cuenta que, en primer lugar, $\frac{d}{dx}(x \log{x} - x ) = \log{x}$

Ahora, para el caso general, integración por partes:

$$\int dx \: x^k \log{x} = x^{k+1} (\log{x} - 1) - k \int dx \: x^k \log{x} + k \int dx \: x^k$$

o,

$$ (k+1) \int dx \: x^k \log{x} = x^{k+1} (\log{x} - 1) + \frac{k}{k+1} x^{k+1}$$

Ahora apenas el enchufe en $k=15$ y listo.

Answer 3

Especialista de piezas es, en este caso, no tedioso. Que $du=x^{15}\,dx$ y que $v=\ln x$. (Sí, tipo de atrás.)

Luego podemos tomar $u=\dfrac{x^{16}}{16}$. Además, $dv=\dfrac{1}{x}\,dx$.

Así que en el siguiente paso que estamos encontrando $\displaystyle\int \dfrac{x^{16}}{16}\dfrac{1}{x}\,dx$, es decir, $\displaystyle\int\dfrac{x^{15}}{16}\,dx$. Ésta es inmediata.

Answer 4

Como se señaló, el alto $x$ exponente no complicar las cosas demasiado tanto como $\ln x$ da algo realizable una vez que usted toma el derivado mientras que integración no elimina $\ln x$ de la integral. Si desea ver un poco menos temible aunque o ya $\int x\ln xdx$ memorizado, sustitución adecuada será limpiarlo.

$$u=x^8,du=8x^7dx$$

$$\int x^{15}\ln xdx=\frac18\int u\ln u^\frac18du=\frac1{64}\int u\ln udu$$