Forma cerrada $ \sum_{l=0}^{2m} \binom{2m+n-1}{2m-l}x^l $

Question

Estoy tratando a un operador y llegué a una suma de la forma $ \sum_{\ell = 0} ^ {2 m} \binom {2 m + n - 1} {2 m - \ell}x^{\ell},\qquad \mbox{with}\quad0\le m\le n-1. $$

¿Esto tiene una agradable forma cerrada?

EDIT: Esto (obviamente) se transforma en $$ x^{2m}\sum{k=0}^{2m} \binom{2m+n-1}{k}x^{-k}. $ $ así que la pregunta puede ser reformulada para preguntarles acerca de la forma cerrada de la suma $$ \sum{k=0}^{m} \binom{m+n}{k}x^{k}. $ $

Answer 1

No, No puede tener una forma cerrada, por la siguiente razón. Es conocido que incluso suma $\sum_{k = 0}^K \binom{N}{k}$ no tiene forma cerrada. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $K \le \frac{N}{2}$. Entonces

$$\sum_{k = 0}^K \binom{N}{k} = (K \bmod 2)\binom{N}{K} + \sum_{k = 0}^{2\left\lfloor\frac{K}{2}\right\rfloor}\binom{N}{k} = (K \bmod 2)\binom{N}{K} + \sum_{k = 0}^{2m}\binom{2m + n - 1}{k}\\ = (K \bmod 2)\binom{N}{K} + \sum_{\ell = 0}^{2m}\binom{2m + n - 1}{2m - \ell}1^{\ell}$$

para $m = \left\lfloor\frac{K}{2}\right\rfloor$, $n = N - 2m + 1 > \frac{N}{2} \ge 2m \ge m$ y $\ell = 2m - k$. Así que si su suma había una forma cerrada, a continuación, $\sum_{k = 0}^K \binom{N}{k}$ tendría demasiado. Esta contradicción muestra que su suma no tiene forma cerrada.

Answer 2

Usted escribió correctamente eso depende de la definición de forma cerrada.

Si usted acepta funciones hipergeométrica para ser una forma "cerrada", tendrás $$\sum_{\ell = 0}^{2m}\binom{2m + n - 1}{2m - \ell}x^{\ell}=\binom{2 m+n-1}{2 m} \, _2F_1(1,-2 m;n;-x)$ $