A partir de la ecuación $\mathrm e^{\mathrm ix} = \mathrm e^{-ix}$ obtenemos al multiplicar ambos lados por $\mathrm e^{\mathrm ix}$ la ecuación de $\mathrm e^{\mathrm 2ix}=1$ (que es una equivalencia de transformación debido a que la función exponencial es la nada $0$).
Supongamos ahora que $x_1$ $x_2$ son ceros de la $\sin x$. A continuación, $\mathrm e^{2\mathrm ix_1}=1$ $\mathrm e^{2\mathrm ix_2}=1$ e lo $\mathrm e^{2\mathrm i(x_1-x_2)}=\mathrm e^{2\mathrm ix_1}/\mathrm e^{2\mathrm ix_2}=1$, $x_1-x_2$ también es un cero de $\sin x$.
Ahora, a partir de la definición de la fórmula para $\sin x$, es fácil mostrar que $\sin\overline x = \overline{\sin x}$, por lo tanto si $x$ es un cero, entonces también se $\overline x$ es. Pero luego, a partir de lo que han mostrado, $x-\overline x$ también es un cero de $\sin x$.
Pero $x-\overline x = 2\mathrm i\operatorname{Im} x$, y por lo tanto $\mathrm e^{2\mathrm i(x-\overline x)} = e^{-4\operatorname{Im} x}$. Pero que es un verdadero exponente, y por lo tanto la única solución de $e^{-4\operatorname{Im} x}=1$$\operatorname{Im} x=0$, $x$ debe ser real.
Podemos utilizar el poder de la serie de la función seno (derivada de la potencia de serie de la función exponencial) para comprobar que $\sin 1>0$$\sin 4<0$, por lo tanto, dado que la función exponencial, y por lo tanto la función seno es continua, debe haber al menos un cero en el medio; es decir, existe al menos un cero positivo.
Dado que la función exponencial es la analítica, la función seno es, demasiado, y por lo tanto sabemos que hay un positivo menor que cero (porque de lo contrario $0$ sería un punto de acumulación de ceros, y por lo tanto la función seno tendría que ser constante, que sabemos que no lo es). Vamos a llamar a que positivo menor que cero $x_0$.
Ahora sabemos que $x_0$ ser un cero significa $\mathrm e^{2\mathrm ix_0}=1$ de la $\mathrm e^{2\mathrm inx_0}=1$ cualquier $n\in\mathbb Z$ simplemente tomar el poder de la ecuación. Por lo tanto, $n\mathbb x_0$ es también un cero para cualquier $n\in \mathbb Z$.
Ahora suponga $x_1$ es otro positivo cero de $\sin x$. Entonces existe un $r>1$ tal que $x_1=rx_0$. Pero entonces, $x_1-\lfloor r\rfloor x_0 = \left(r-\lfloor r\rfloor\right)x_0$ también sería cero, pero que sería positivo cero menor que $x_0$, en contradicción con la suposición de que $x_0$ es el positivo menor que cero. Desde $\sin(-x)=-\sin x$ (comprueba fácilmente con la definición de la fórmula), lo mismo vale también para los ceros. Por lo tanto todos los ceros son de la forma $nx_0$, $n\in \mathbb Z$.
La única cosa que falta es que el $x_0=\pi$ donde $\pi$ se define como la proporción de la circunferencia y el diámetro de un ciclo.
Para probar esto, primero vamos a definir una segunda función,la
$$\cos x = \frac{\mathrm e^{\mathrm ix} + \mathrm e^{-\mathrm ix}}{2}$$
Uno puede comprobar con facilidad que $(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1$, lo que, obviamente, todos los puntos de $(\cos x,\sin x)\in\mathbb R^2$ están en el círculo unidad. Sin embargo, tenemos que demostrar que tenemos la plena unidad de ciclo. En particular, vamos a demostrar que para $x\in[0,2x_0]$ vamos alrededor del círculo unidad exactamente una vez.
En primer lugar, nos damos cuenta de que $\mathrm e^{\mathrm ix_0}=-1$. Este debe ser el caso porque el cuadrado es $1$ (que da exactamente la condición para $x_0$ cero de la sinusoidal), pero el valor en sí no puede ser $1$ (de lo contrario $\frac {x_0}{2}$ sería un cero así, en contradicción a $x_0$ siendo el positivo menor que cero), y el único valor que las plazas a$1$$-1$.
A partir de eso, uno puede fácilmente comprobar que $\sin(x+x_0)=-\sin x$$\cos(x+x_0)=-\cos x$. También por el hecho de que la derivada de la función exponencial es la función exponencial de sí mismo (fácilmente verificado a partir de la potencia de la serie) uno fácilmente se comprueba que $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sin x=\cos x$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cos x=-\sin x$.
También ya sabemos que entre el $0$ $x_0$ el seno es positivo (gracias a la continuidad que no puede cambiar de signo en cualquier lugar, pero en ceros). El uso de ese hecho, junto con la ecuación
$$\mathrm e^{\mathrm ix} = \cos x + \mathrm i\sin x$$
(lo que se comprueba fácilmente a partir de las definiciones de $\sin x$$\cos x$) también obtenemos $\mathrm e^{\mathrm i x_0/2}=\mathrm i$ (el cuadrado es $-1$ y la parte imaginaria es positivo). Con ese conocimiento ahora también podemos comprobar que $\cos x = \sin\left(\frac{x_0}{2}-x\right)$. Especialmente los ceros de $\cos x$$x_0\left(n+\frac12\right)$.
Ahora ya tenemos todas las piezas juntas: La curva de $x\mapsto(\cos x,\sin x)$ comienza a $(1,0)$$x=0$. Para $0<x<\frac{x_0}{2}$ el seno es positivo y estrictamente monótona creciente, mientras que el coseno es positivo y estrictamente monótona que cae. En $x=\frac{x_0}{2}$ alcanza el punto de $(0,1)$. Para $\frac{x_0}{2}<x<x_0$ el seno es positivo y estrictamente monótona que cae, y el coseno es negativo y estrictamente monótona que cae. En $x=x_0$ el punto (-1,0)$ es alcanzado. Omito el resto, ya que debe ser clara, junto con la continuidad de todo esto da que hemos hecho alrededor del círculo unitario exactamente una vez, sin tener que ir atrás en el camino.
Ahora todo lo que tenemos que hacer es calcular la longitud de la curva. La longitud se obtiene mediante la integración de la longitud de la derivada del vector. La derivada del vector es $(-\sin x,\cos x)^T$, y su longitud es de $(-\sin x)^2+(\cos x)^2=1$. Así, la circunferencia del círculo unitario es $C=\int_0^{2 x_0} 1\,\mathrm dx = 2x_0$. Obviamente el diámetro del círculo unitario es $D=2$, por lo tanto tenemos $x_0 = C/2 = C/D = \pi$.
