Mi pregunta se refiere a la siguiente extracto del Teorema 3.1 en la página 56 de Smullyan/Ajuste de la Teoría de conjuntos y el Continuo Problema:
... para cualquier no-vacío subclase $A$$M$, si $L$ es el conjunto de todos los elementos de la $x$ que son propias de los subconjuntos de todos los elementos de a $A$, entonces ...
La integridad, menciono que el $M$ por encima de es $g$-de la torre. Sin embargo, creo que esto es irrelevante para mi pregunta. Para el presente propósito, uno puede pensar de $M$ como un arbitrario de la clase.
Mi problema es que los autores nunca se justifica el porqué $L$ debe ser un conjunto. En la medida de lo que uno sabe, la recolección de todos los elementos que son propias de los subconjuntos de todos los elementos de la clase $A$ formas de una clase, y no necesariamente de un conjunto. Tengo una cuestionable la prueba de que $L$ es un conjunto sin embargo, y yo estaría muy agradecido si alguien puede verificar su (in)corrección:
Así, la fijación de una $x \in L$. Mi objetivo es mostrar que el $x \in \mathcal{P}(\cap A)$, o lo que es lo mismo, $x \subseteq \cap A$. Así, supongamos que uno tiene un $y \in x$. Ahora, para todos los $z \in A$, es el caso de que $x \subset z$ (por la definición de $L$). Por lo tanto, $y \in z$ también. Por lo tanto, $y$ está dentro de cada elemento de $A$, lo $y \in \cap A$, e $x \subseteq \cap A$ está probado.
Por lo tanto, $L\subseteq\mathcal{P}(\cap A)$. Esto debería ser suficiente para mostrar que el $L$ es un conjunto debido a que (a) $\cap A$ es un conjunto siempre $A$ es no vacío (b) el poder de clase de un conjunto es un conjunto y (c) las subclases de un conjunto de conjuntos.
Es mi prueba correcta? Si es así, entonces hay una forma más simple para ver que $L$ es un conjunto?
