Demuestre que si$X$ es subgaussian, entonces${\bf E}e^{tX}=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!}{\bf E}X^k$

Question

Probar que si $X$ es subgaussian, entonces
$${\bf E}e^{tX}=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!}{\bf E}X^k$$

Así que, básicamente, sólo tengo que empujar la integral a través de la suma infinita $${\bf E}e^{tX}=\int_{\bf R}e^{tx}d\mu_X=\int_{\bf R}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tx)^k}{k!}d\mu_X$$ Por lo tanto, voy a utilizar el teorema de convergencia dominada, la delimitación de la valor absoluto de las sumas parciales de (esperemos) $\mu_X$integrable función de $e^{|tx|}$, $$\Big|\sum_{k=0}^n\frac{(tx)^k}{k!}\Big|\leq e^{|tx|}$$ Ahora a $e^{|tx|}$ $\mu_X$- integrable, he $$\int_{\bf R}e^{|tx|}d\mu_X=\;\;?$$

Así que por el subgaussian propiedad de $X$ tengo que $$P(|X|\geq\lambda)\leq\int_{\lambda}^{\infty}2cCxe^{-cx^2}dx=Ce^{-c\lambda^2}$$ para $c,C>0$ fijo y para cualquier $\lambda>0$.

Por lo tanto, esta integrando funciones casi como mi pdf para $X$, y si lo hiciera podría utilizar el Radon-Nikodym teorema para resolver esto. Sin embargo, a pesar de que cualquier superior-cola integral de los límites de la real pdf, no acabo de ver cómo usarlo para acotar la integral de $e^{|tx|}$.

Answer 1

Hasta $\int_{\bf R}e^{|tx|}\rm d\mu_X$ cosas están bien (después de la descomposición de las necesidades simétrica medida). Ahora w.l.o.g. suponga que $t>0$ y escribir: $$ \int_{\bf R}e^{t|x|}\rm d\mu_X=\int_0^{\infty}e^{tx}\rm d\mu_X+\int_{-\infty}^0e^{tx}\rm d\mu_X. $$ Estamos obligados el primer término y el segundo término es limitada de manera similar. $$ \int_0^{\infty}e^{tx}\rm d\mu_X=\int_0^{\infty}\int_{-\infty}^{tx}e^u\rm \;du\rm\; d\mu_X\\ =\int_{-\infty}^0\int_{0}^\infty e^u\rm \;du\rm\; d\mu_X+\int_0^{\infty}e^u\int_{{u}/{t}}^{\infty}\; \rm d\mu_X \rm \;du\\ =\mu_X([0,\infty))+\int_0^{\infty}e^u \mathbb P(X>{\frac{u}{t}})\rm \;du. $$ Ahora, el último de la integración puede ser delimitada como: $$ \int_0^{\infty}e^u \mathbb P(X>{\frac{u}{t}})\rm du\leq \int_0^{\infty}e^uCe^{-cu^2/t^2}\rm\;du, $$ que está delimitada por $t>0$. Del mismo modo se puede demostrar que $\int_{-\infty}^0e^{-tx}\rm d\mu_X$ es limitada y, por tanto, la total expectativa es acotada.

Answer 2

Observe que la propiedad subgaussiana se puede escribir como$$P(e^{|tX|}\geq\lambda)=P(|X|\geq\frac{\log\lambda}{|t|})\leq Ce^{-c(\frac{\log\lambda}{|t|})^2}$ $ Así tenemos \begin{align} \int_{\bf R}e^{|tx|}d\mu_X={\bf E}e^{|tX|}&=\int_0^{\infty}P(e^{|tx|}\geq\lambda)d\lambda\\ &\leq C\int_0^{\infty}e^{-c(\frac{\log\lambda}{|t|})^2}d\lambda\\ &=|t|C\int_{-\infty}^{\infty}e^{-cu^2+|t|u}du\\ &=|t|Ce^{\frac{-t^2}{4c}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-c(u-\frac{|t|}{2c})^2}du \end {align}

La última integral es claramente finita en referencia a la distribución gaussiana.