¿Por qué nunca es divisible por $n^2+4$ $3$?

Question

Podría alguien explicar ¿por qué nunca es divisible por $n^2+4$ $3$? Sé que hay un ejemplo con $n^2+1$, sin embargo un $4$ pueden romperse hasta $3+1$ y factor de un tres, que sería divisible por $4$.

Answer 1

Escriba $n=3r+q$ $q\in{0,1,2}$. Entonces $$ n ^ 2 +4 = 9r ^ 2 +6rq + q ^ 2 +4 = (9r ^ 2 +6rq +3) + q ^ 2 +1. $$ La expresión en paréntesis es divisible por $3$ Considerando que la inspección de las tres posibilidades de $q$ revela que $q^2+1$ nunca es divisible por $3$.

Answer 2

Para cualquier número entero $n$ que tenemos,

$$n\equiv{0,1,2}\pmod3\implies n^2\equiv {0,1,4}\equiv {0,1,1}\equiv{0,1}\pmod3\ \implies n^2+4\equiv{4,5}\equiv{1,2}\pmod3\implies n^2+4\not\equiv0\pmod3$$

$$\therefore\quad 3\not\mid n^2+4~\forall~n\in\Bbb{Z}$$

Answer 3

¿Mirar la expresión mod $3$, $$n^2 + 4 \equiv n^2 + 1.$ $ podría $n^2\equiv 2$? ¿Cuáles son la plazas mod $3$? $0^2 \equiv 0, 1^2 \equiv 1, 2^2 \equiv 4 \equiv 1$. Así $2$ no es un cuadrado mod $3$!

Answer 4

Considerar casos. Por ejemplo, ¿qué sucede si $n=3k$, $n=3k+1$ y $n=3k+2$?

Answer 5

Respuesta usando la Reciprocidad Cuadrática.

Utilizamos el criterio de Euler, la cual establece que $n \in \mathcal QR(p)$ fib $n^{\frac {p-1}{2}} \equiv 1 \bmod p$.

Utilizamos el símbolo de Legendre $(\frac np) = \begin{cases} 1 \text{, n} \in \mathcal QR(p)\\ -1 \text{, n} \in \mathcal NR(p)\end{casos}$

por el bien de la contradicción, supongamos $3 \mid n^2+4$

$3 \mediados de n^2+4 \Rightarrow n^2 +4 \equiv 0 \bmod 3 \\ \Rightarrow n^2 \equiv -4 \bmod 3 \\ \Rightarrow -4 \in \mathcal {QR}(3)$

Porque $-4 \equiv -1 \bmod 3$, $-4 \in \mathcal {QR}(3) \Rightarrow -1 \in \mathcal {QR}(3)$

Ahora, el uso de Euler criterio para calcular los $(\frac {-1}3)$

$(-1)^{\frac {3-1}{2}}=(-1)^1 = -1 \Rightarrow -1 \in \mathcal NR(3)$.

Es una contradicción! Por lo tanto, $3 \nmid n^2+4$ para cualquier n.