Demostrar que $n^2$ es un factor de la suma de potencias Impares $(>1)$ de la primera $n$ enteros

Question

Podemos demostrar fácilmente que $n$ es un factor de la suma de $p$ -enésima potencia de la primera $n$ enteros , suponiendo que la suma es un polinomio general de orden $p+1$ y el ajuste $n=0$ dando un término constante cero (ya que la suma es la misma si se cuenta desde $0$ o de $1$ ).

Sin embargo, es interesante observar que para impar $(>1)$ valores de $p$ , $n^2$ también es un factor, y de hecho, $n^2(n+1)^2$ son factores.

¿Existe una forma sencilla de demostrar que $n^2$ es un factor de la suma de potencias Impares $(>1)$ de la primera $n$ enteros, sin evaluar toda la suma o igualar los coeficientes para todo el polinomio (y, preferiblemente, sin utilizar las fórmulas de Faulhabner y los números de Bernoulli)?

Por ejemplo, en el caso de la quinta potencia, $$\sum_{r=1}^n r^5=an^6+bn^5+cn^4+dn^3+en^2+fn+g$$ Como se ha descrito anteriormente, $g=0$ . ¿Cómo podemos demostrar que $f=0$ sin evaluar primero los otros coeficientes no nulos?

Answer 1

Empezar desde $$2\sum_{r=1}^nr^k=n^k+\sum_{r=1}^n(r^k+(n-r)^k).$$ Ahora bien, si $k>1$ es impar, podemos escribir $$\sum_{r=1}^n(r^k+(n-r)^k)=n^2f(n)+\sum_{r=1}^n(nkr^{k-1}),$$ donde $f$ es algún polinomio. Ahora, utilizando el hecho de que la suma de los $(k-1)$ es un polinomio con término constante cero, tenemos $2\sum_{r=1}^nr^k=n^2g(n)$ para algún polinomio $g$ .