4 votos

Encontrar todas la función $f:\mathbb{R^+}→\mathbb{R^+}$ $f(xy)^{xy} =f(x)^x f(y)^y$ que

Encontrar todas la función $f:\mathbb{R^+}→\mathbb{R^+}$ que satisface la condición dada: $$f(xy)^{xy} =f(x)^x f(y)^y$ $

Si $f:\mathbb{R}→\mathbb{R^+}$ la pregunta sería más bien simple, como poner en $y=0 $ rendimientos que $1=f(x)^x$ así implicando $f(x)=1$ % todos $x$.

Sin embargo, desde $f:\mathbb{R^+}→\mathbb{R^+}$, primero probé $y=1$, que produce que $f(1)=1 $.

También tenga en cuenta que $f(2x)^{4x}=f(4x^2)^{4x^2}=f(x)^{x}f(4x)^{4x}$.

Poner $x=1$ rendimientos que $f(2)=f(4)$

También traté de diferenciar $f(xy)^{xy} =f(x)^x f(y)^y$, pero que no resultó muy útil.

Cualquier ayuda sería apreciada.

5voto

PhoemueX Puntos 19354

Deje $g := \ln \circ f$. Entonces $$ xy g(xy) = xg(x) + yg(y). $$

Esto implica que $h(x) := x g( x)$ satisface $$ h(xy) = h(x) + h(y), $$ así que finalmente, la función de $\alpha : \Bbb{R}\to \Bbb{R}, x \mapsto h(e^x)$ satisface $$ \alpha (x+y) = h(e^x e^y) = h(e^x)+ h(e^y)= \alpha (x) + \alpha (y). $$

Ahora, aditivo funciones en $\Bbb{R}$ son relativamente bien conocidos. Si asumimos $f$ (y por lo tanto $\alpha$) a ser continua, hay algunos $a\in\Bbb{R}$ $\alpha(x)= ax$ todos los $x$.

Yo se lo dejo a usted para revertir mi sustituciones para averiguar lo que esto produce para $f$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X