¿Por qué isn ' t un conjunto como el $\{0,1,3,6,8\}$ un subgrupo de $\mathbb{Z}_9$?

Question

¿Por qué hay sólo 3 subgrupos de $\mathbb{Z}_9$? ¿${0,1,3,6,8}$? Hay una identidad y el inverso de cada elemento en ese subconjunto.

Answer 1

Un subgrupo, además de que contienen la identidad y ser cerrado bajo tomar inversas, debe mantenerse cerrado bajo la operación de grupo. Tu ejemplo no es ya que (por ejemplo) $1\in{0,1,3,6,8}$ $1+1=2\not\in{0,1,3,6,8}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que un subgrupo también debe estar cerrado bajo la operación de grupo $*$. Además, tenga en cuenta por el teorema de Lagrange que sabemos que si $G$ es finito, entonces usted debe tener que $|H| \text{ divides } |G|$ si $H$ es un subgrupo. Tenga en cuenta que $|{0, 1, 3, 6, 8}| = 5$ que no divide $9$.

Un truco aseado es un subconjunto $H \subset G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $a*b^{-1} \in H$ cada $a, b \in H$.