Evaluar

Question

Necesito evaluar la siguiente integral:

PS

Pensé en evaluar la integral iterada$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(x^2-xy+y^2)}dx\, dy$, pero debido a la presencia de$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}(x^2-xy+y^2)}dy$ y$x^2$ términos, no puedo hacer eso. Intenté sustituir$y^2$ y$x=r\cos \theta$ pero en ese caso tengo alguna confusión con respecto a los límites de$y=r\sin \theta$ y$r$. ¿Puedo obtener ayuda?

Answer 1

Recordar: $$x^2-xy+y^2=(x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2$$ Con esto se obtiene: $$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}(x^2-xy+y^2)}dxdy=\\\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left((x-\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2\right)}dxdy=\\ \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}\left(x^2+\frac{3}{4}y^2\right)}dx dy=\\ \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}x^2}dx e^{-\frac{3}{8}y^2}dy=\\ \int_{-\infty}^\infty\sqrt{2\pi}e^{-\frac{3}{8}y^2}dy=\\ \sqrt{2\pi}\sqrt{\frac{8}{3}\pi}=\frac{4}{\sqrt{3}}\pi $$

Answer 2

La fórmula general de integración gaussiana es$$\int_{-\infty}^{\infty}\ldots\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac12 x^T Ax}dx_1\ldots dx_n=\frac{(2\pi)^{\frac{n}{2}}}{\sqrt{\operatorname{det}A}}.$ $ En su caso,$n=2$ y$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1/2 \\ -1/2 & 1\end{array}\right)$.