¿Cómo es útil saber a qué es isomorfo el dual de un espacio?

Question

Wikipedia tiene una cuidada espacios y sus duales. Por ejemplo, muestra que el doble de $c_0$$l_1$.

Pero, ¿cómo puedo utilizar ese conocimiento? Estoy tratando de demostrar algo para todas las funciones de la doble vertiente de la $c_0$, y pensé que yo podía usar mis conocimientos de $l_1$ para obtener algunas propiedades de las funciones. Pero no sé cómo.

Por ejemplo, el elemento de $l_1$, que corresponde a la funcional de $c_0$? Supongo que su "producto escalar" (multiplicar $x\in c_0$ $y\in l_1$ elemento-sabio y la suma de los productos), sería una funcional. Si eso es cierto, yo probablemente podría demostrarlo. Pero sólo se acercó a ella, porque esa fue mi intuición. ¿Existe un modo mecánico?

Me doy cuenta de que es difícil responder a la pregunta, sin saber exactamente cuál es el problema que estoy tratando de resolver, pero tal vez hay algunas estrategias generales?

Lo siento si la pregunta parece confuso y "garantía"; estoy teniendo un tiempo difícil clasificación.

Answer 1

Los problemas que se están tratando de resolver (en secuencia de espacios como $c_0, l^p$, etc) tienen la intención de darle más práctica para atacar los problemas más difíciles que se muestran en función de los espacios como $C_0(X), L^p(X,\mu)$, etc. La identificación de los duales de los espacios de estos espacios de funciones es un largo y difícil de la historia en la teoría de la medida - un hecho que no es evidente a menos que usted ha pasado algún tiempo luchando a través de sus contrapartes en estos secuencia de espacios.

Filosóficamente, la interacción entre un espacio vectorial y su dual es un ejemplo de un fenómeno que es ampliamente utilizado en las matemáticas. Por ejemplo, una dualidad similar para abelian topológica de los grupos es la razón por la transformada de Fourier es tan interesante.