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Ecuación de integración de Abel (transformada de Laplace)

Estoy atrapado en mi libro de texto; indica: dada la ecuación integral de Abel:$$f(t)=\int_{0}^{t} \frac {\phi(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha}} d\tau$ $ Está claro que la transformada de Laplace se puede representar de la siguiente manera:$$\bar{\phi }(s) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}s^{1-\alpha}\bar{f}(s)$ $ Quizás para la mayoría de los lectores esté claro, pero no puedo entenderlo. Quizás estoy confundido por el número de$\phi's$ y$\alpha's$. Tal vez alguien pueda ponerme en el camino correcto?

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Joe Goldiamond Puntos 16

Después de 4 horas de pensar e intentar, creo que encontré la solución. Espero que sea correcto, si no, por favor no dude en corregirlo. La RHS de la ecuación es la convolución de$\phi (t)$ y$\frac{1}{t^{-\alpha}}$ y por lo tanto$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \mathcal{L}[\phi(t)]\mathcal{L}\bigg[\frac{1}{t^\alpha}\bigg] =\bar{\phi }(s)\int_{0}^{\infty}\frac {e^{-st}}{t^{\alpha}}dt$$By taking $ s = x> 0$ and putting $ \ tau = xt$ to obtain$$\int_{0}^{\infty}\frac {e^{-xt}}{t^{\alpha}} = x^{-(1-\alpha)} \int_{0}^{\infty} \tau^{(1-\alpha)-1}e^{-\tau}d\tau$ $$$= x^{-(1-\alpha)}\Gamma (1-\alpha)$ $

Si continuamos con esto, notamos que:$$\mathcal{L}\bigg[\frac{1}{t^\alpha}\bigg] = s^{-(1-\alpha)}\Gamma (1-\alpha)$ $ Por lo tanto:$$\bar{\phi }(s) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}s^{1-\alpha}\bar{f}(s)$ $

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